Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=e^{2 x}+5

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes
y'' - 2y' = e^{2x} + 5.
Para resolver, vamos usar o método geral: (i) achar a solução da equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular via coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y' = 0.
Formamos a equação característica
r^2 - 2r = 0,
cuja raízes são r=0 e r=2. Assim a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{2x}.

Passo 3

Para o termo e^{2x} no lado direito, como e^{2x} já aparece na homogênea (raiz simples r=2), multiplicamos por x e propomos
y_{p1}(x) = A\,x\,e^{2x}.
Calculando
y_{p1}' = A e^{2x}(1+2x),\quad y_{p1}'' = 4A e^{2x}(x+1),
e substituindo em y''-2y', obtemos
y_{p1}'' - 2y_{p1}' = 2A\,e^{2x}\stackrel{!}{=}e^{2x} \;\Longrightarrow\;A=\tfrac12.
Logo
y_{p1}(x) = \tfrac12\,x\,e^{2x}.

Passo 4

Para o termo constante 5, tentamos um polinômio de grau 1, pois grau zero geraria zero após duas derivadas. Seja
y_{p2}(x) = B\,x.
Então
y_{p2}' = B,\quad y_{p2}'' = 0,
e na equação y''-2y' fica
0 - 2B = 5 \;\Longrightarrow\;B = -\tfrac52.
Assim
y_{p2}(x) = -\tfrac52\,x.

Passo 5

A solução geral é a soma das partes homogênea e particulares:
y(x) = y_h + y_{p1} + y_{p2} = C_1 + C_2 e^{2x} + \tfrac12\,x\,e^{2x} - \tfrac52\,x.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{2x} + \tfrac12\,x\,e^{2x} - \tfrac52\,x.

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