Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=2 e^{2 x}+\frac{x}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - 4y' + 4y = 2e^{2x} + \frac{x}{2}
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A estratégia é encontrar a solução geral na forma
y(x) = y_c(x) + y_p(x),
onde y_c é a solução da equação homogênea associada
y'' - 4y' + 4y = 0
e y_p é uma solução particular da não-homogênea, obtida por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para achar y_c, escrevemos a equação característica:
r^2 - 4r + 4 = 0.
O discriminante é zero, e a raiz dupla é r=2. Logo,
y_c(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{2x}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_{p1} para o termo 2e^{2x}. Como e^{2x} corresponde à raiz dupla r=2, multiplicamos por x^2. Fazemos o ensaio
y_{p1}(x) = A\,x^2 e^{2x}.
Aplicando o operador L[y]=y''-4y'+4y=(D-2)^2y temos
L\bigl[x^2 e^{2x}\bigr]=2e^{2x},
então
L[A\,x^2 e^{2x}] = 2A\,e^{2x}.
Para anular 2e^{2x} à direita, igualamos 2A=2, de onde A=1. Portanto
y_{p1}(x) = x^2 e^{2x}.

Passo 4

Agora achamos uma solução particular y_{p2} para o termo polinomial \tfrac x2. Como não há raiz nula na homogênea, tentamos
y_{p2}(x) = Bx + C.
Então
y_{p2}' = B,\quad y_{p2}''=0,
e
L[y_{p2}] = 0 - 4B + 4(Bx + C) = 4B\,x + (-4B +4C).
Isso deve igualar \tfrac x2, logo
4B = \tfrac12,\quad -4B +4C = 0.
Da primeira equação B=\tfrac1{8}. Da segunda 4C=4B C=\tfrac1{8}. Assim
y_{p2}(x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{8}.

Passo 5

A solução geral é
y(x) = y_c(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{2x} + x^2 e^{2x} + \frac{x}{8} + \frac{1}{8}.

Resposta

y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x + x^2\bigr)e^{2x} + \frac{x}{8} + \frac{1}{8}.

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