Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = \frac{e^{x}}{x}.
O conteúdo envolvido é: (i) encontrar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada; (ii) obter uma solução particular para a parte não homogênea. Como o termo não homogêneo \tfrac{e^{x}}{x} não é compatível com coeficientes constantes por métodos de coeficientes a determinar, vamos usar variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' - 2y' + y = 0
montamos a equação característica
r^{2} - 2r + 1 = 0 \;\Longrightarrow\;(r-1)^{2}=0,
que dá raiz dupla r=1. Logo a solução complementar é
y_{h} = C_{1}e^{x} + C_{2}\,x e^{x}.

Passo 3

Para variação de parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais
y_{1}=e^{x}, \quad y_{2}=x e^{x}.
Calculamos o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{x} & x e^{x}\\\ e^{x} & (1+x)e^{x} \end{vmatrix} = e^{x}\cdot(1+x)e^{x} \;-\; e^{x}\cdot x e^{x} = e^{2x}.

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_{1}' = -\frac{y_{2}\,f(x)}{W} \;\;,\;\; u_{2}' = \frac{y_{1}\,f(x)}{W},
onde f(x)=\tfrac{e^{x}}{x}. Assim
u_{1}' = -\frac{x e^{x}\;\frac{e^{x}}{x}}{e^{2x}} = -1, \quad u_{2}' = \frac{e^{x}\;\frac{e^{x}}{x}}{e^{2x}} = \frac{1}{x}.
Integrando, tomamos constantes de integração zero (elas são absorvidas em y_{h}):
u_{1} = \int (-1)\,dx = -x, \quad u_{2} = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln(x).

Passo 5

A solução particular é
y_{p} = u_{1}y_{1} + u_{2}y_{2} = (-x)\,e^{x} + \ln(x)\,\bigl(x e^{x}\bigr) = x e^{x}\,\ln(x) \;-\; x e^{x}.
Portanto a solução geral fica
y = y_{h} + y_{p} = C_{1}e^{x} + C_{2}\,x e^{x} + x e^{x}\,\ln(x) - x e^{x}.

Resposta

\boxed{y(x) = e^{x}\Bigl(C_{1} + C_{2}\,x + x\ln(x) - x\Bigr),\quad x>0.}

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