Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-2 y=4 x e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2\,y = 4\,x\,e^{x^2}.
O que vamos usar: solução da equação homogênea associada e depois variação de parâmetros para encontrar uma particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea
y'' - 2\,y = 0.
A equação característica é
r^2 - 2 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm \sqrt{2}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1\,e^{\sqrt{2}\,x} + C_2\,e^{-\sqrt{2}\,x}.

Passo 3

Para obter uma solução particular y_p usamos variação de parâmetros com
y_1 = e^{\sqrt{2}\,x},\quad y_2 = e^{-\sqrt{2}\,x}.
O wronskiano vale
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = -2\,\sqrt{2}.
As fórmulas são
u_1' = -\frac{y_2\,f(x)}{W},\quad u_2' = \frac{y_1\,f(x)}{W}, \quad f(x)=4\,x\,e^{x^2},
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u_1' = \frac{e^{-\sqrt{2}x}\,4x e^{x^2}}{2\sqrt{2}} ,\quad u_2' = -\frac{e^{\sqrt{2}x}\,4x e^{x^2}}{2\sqrt{2}}.
Assim
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = y_1\!\int u_1'\,dx + y_2\!\int u_2'\,dx.

Passo 4

Precisamos calcular
I_1 = \int x\,e^{x^2 - \sqrt{2}\,x}\,dx, \quad I_2 = \int x\,e^{x^2 + \sqrt{2}\,x}\,dx.
Fazendo o “completar o quadrado” em cada expoente e usando a definição de função erro \mathrm{erf}, obtém-se
I_1 = \frac12\,e^{x^2 - \sqrt{2}x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}\,e^{-1/2}\,\mathrm{erf}\!\bigl(x-\tfrac1{\sqrt{2}}\bigr),
I_2 = \frac12\,e^{x^2 + \sqrt{2}x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}\,e^{-1/2}\,\mathrm{erf}\!\bigl(x+\tfrac1{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 5

Substituindo em variação de parâmetros e simplificando, os termos exponenciais de e^{x^2} se cancelam, restando
y_p(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,e^{-1/2}\Bigl[e^{\sqrt{2}x}\,\mathrm{erf}\!\bigl(x-\tfrac1{\sqrt{2}}\bigr) - e^{-\sqrt{2}x}\,\mathrm{erf}\!\bigl(x+\tfrac1{\sqrt{2}}\bigr)\Bigr].
Portanto a solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x).

Resposta

\boxed{ y(x) = C_1\,e^{\sqrt{2}x} + C_2\,e^{-\sqrt{2}x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,e^{-1/2}\Bigl[ e^{\sqrt{2}x}\,\mathrm{erf}\!\bigl(x-\tfrac1{\sqrt{2}}\bigr) - e^{-\sqrt{2}x}\,\mathrm{erf}\!\bigl(x+\tfrac1{\sqrt{2}}\bigr) \Bigr]. }

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