Resolva as EDOs e/ou PVI’s:
\left(y^{2} \cos x\right) d x+(4+5 y \sin x) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(y^{2}\cos x\bigr)\,dx + \bigl(4 + 5y\sin x\bigr)\,dy = 0
Queremos verificar se ela é exata ou achar um fator integrante. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fatores integrantes, e vamos usar as condições de exatidão
\frac{\partial M}{\partial y} \overset{?}{=} \frac{\partial N}{\partial x}
e, se não for exata, buscar um fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y^{2}\cos x, \quad N(x,y) = 4 + 5y\sin x.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =2y\cos x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =5y\cos x.
Como 2y\cos x\neq5y\cos x, não é exata. Agora testamos se existe um fator integrante \mu que dependa só de y usando
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{5y\cos x -2y\cos x}{y^{2}\cos x} = \frac{3y\cos x}{y^{2}\cos x} = \frac{3}{y},
que é função apenas de y. Logo existe \mu(y).

Passo 3

O fator integrante \mu(y) satisfaz
\mu(y)=\exp\Bigl(\int \frac{3}{y}\,dy\Bigr) =\exp\bigl(3\ln|y|\bigr) =|y|^{3}.
Como normalmente tomamos y>0 para simplificar, usamos \mu(y)=y^{3}.
Multiplicando a equação original por y^{3}, obtemos
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy = 0
com
M^*(x,y)=y^{3}\cdot y^{2}\cos x = y^{5}\cos x, \quad N^*(x,y)=y^{3}\bigl(4+5y\sin x\bigr)=4y^{3}+5y^{4}\sin x.

Passo 4

Verificamos a exatidão da nova equação:
\frac{\partial M^*}{\partial y} =5y^{4}\cos x, \quad \frac{\partial N^*}{\partial x} =5y^{4}\cos x,
logo é exata. Logo existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M^*(x,y), \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N^*(x,y).
Integrando \partial \Psi/\partial x = y^{5}\cos x em relação a x,
\Psi(x,y) =\int y^{5}\cos x\,dx =y^{5}\sin x + h(y).
Diferenciando em relação a y e igualando a N^*(x,y):
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =5y^{4}\sin x + h'(y) \overset{!}{=}4y^{3}+5y^{4}\sin x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=4y^{3}
h(y)=\int4y^{3}\,dy = y^{4}.
Logo
\Psi(x,y)=y^{5}\sin x + y^{4}.

Resposta

A solução geral implícita da EDO é
y^{5}\sin x + y^{4} = C,
onde C é constante arbitrária.

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