Resolva as EDOs e/ou PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Queremos verificar se ela é exata ou achar um fator integrante. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fatores integrantes, e vamos usar as condições de exatidão
e, se não for exata, buscar um fator integrante que dependa só de
ou só de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, não é exata. Agora testamos se existe um fator integrante
que dependa só de
usando
que é função apenas de
. Logo existe
.
Passo 3
O fator integrante
satisfaz
Como normalmente tomamos
para simplificar, usamos
.
Multiplicando a equação original por , obtemos
Multiplicando a equação original por
com
Passo 4
Verificamos a exatidão da nova equação:
logo é exata. Logo existe uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
,
Diferenciando em relação a
e igualando a
:
Logo
Resposta
A solução geral implícita da EDO é
onde
é constante arbitrária.