Resolva as EDOs e/ou PVI’s:
\left(6 x y-y^{3}\right)+\left(4 y+3 x^{2}-3 x y^{2}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(6xy - y^3\bigr) + \bigl(4y + 3x^2 - 3xy^2\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 0.
O conteúdo envolve equações exatas. Vamos verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial \varphi(x,y) cuja diferencial total anula a expressão dada.

Passo 2

Escrevemos a equação no forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, com
M(x,y) = 6xy - y^3, \qquad N(x,y) = 4y + 3x^2 - 3xy^2.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 6x - 3y^2, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 6x - 3y^2.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \bigl(6xy - y^3\bigr)\,dx = 3x^2y - x y^3 + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 3x^2 \;-\;3x y^2 \;+\; h'(y)
e igualamos a N(x,y):
3x^2 - 3xy^2 + h'(y) = 4y + 3x^2 - 3xy^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=4y
Integramos em y:
h(y)=2y^2.

Passo 5

Assim, a função potencial é
\varphi(x,y) = 3x^2y \;-\; x y^3 \;+\; 2y^2,
e a solução geral implícita da EDO é
\varphi(x,y)=C.

Resposta

3x^2y \;-\; x y^3 \;+\; 2y^2 = C.

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