Resolva as EDOs e PVI’s lineares de primeira ordem:
t \cdot \frac{d y}{d t}+2 y(t)=\sin t, t>0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de primeira ordem
t\,\frac{dy}{dt}+2\,y(t)=\sin t,\quad t>0.
Para usar o método do fator integrante, primeiro escrevemos na forma padrão
\frac{dy}{dt}+\frac{2}{t}\,y=\frac{\sin t}{t}.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t)=\exp\!\biggl(\int \frac{2}{t}\,dt\biggr)=\exp\bigl(2\ln t\bigr)=t^2.

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=t^2, obtemos
\;t^2\frac{dy}{dt}+2t\,y=\;t\sin t\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dt}\bigl(t^2y\bigr)=t\sin t.
Agora integramos em t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(t^2y\bigr)\,dt=\int t\sin t\,dt\quad\Longrightarrow\quad t^2y=-t\cos t+\sin t+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Por fim, isolamos y(t) dividindo por t^2:
y(t)=\frac{-t\cos t+\sin t+C}{t^2} =-\frac{\cos t}{t}+\frac{\sin t}{t^2}+\frac{C}{t^2}.

Resposta

y(t)=-\frac{\cos t}{t}+\frac{\sin t}{t^2}+\frac{C}{t^2},\quad t>0,
que é a solução geral da EDO linear dada.

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