Resolva as EDOs e PVI’s lineares de primeira ordem:
\left(1+x^{2}\right)^{2} y^{\prime}(x)+4 x y(x)=\left(1+x^{2}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(1+x^{2})^{2}\,y'(x)+4x\,y(x)=(1+x^{2})^{-2}
que é linear em y. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão
y'(x)+P(x)\,y(x)=Q(x)
dividindo ambos os lados por (1+x^{2})^{2}. Assim
y'(x)+\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}}\,y(x)=\underbrace{\frac{(1+x^{2})^{-2}}{(1+x^{2})^{2}}}_{(1+x^{2})^{-4}}\,.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{4x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx\Bigr).
Fazendo a substituição u=1+x^{2}, du=2x\,dx, obtemos
\int \frac{4x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\int \frac{2\,du}{u^{2}} =-\frac{2}{u} =-\frac{2}{1+x^{2}}.
Logo
\mu(x)=\exp\!\bigl(-\tfrac{2}{1+x^{2}}\bigr).

Passo 4

Multiplicamos a EDO padrão por \mu(x). O lado esquerdo vira
\mu(x)\,y'(x)+\mu(x)\,P(x)\,y(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(y(x)\,\mu(x)\Bigr),
e o direito é
Q(x)\,\mu(x) =(1+x^{2})^{-4}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{2}{1+x^{2}}\bigr).
Integramos ambos os lados:
y(x)\,\exp\!\bigl(-\tfrac{2}{1+x^{2}}\bigr) =\int (1+x^{2})^{-4}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{2}{1+x^{2}}\bigr)\,dx + C.

Passo 5

Isolando y(x), a solução geral fica
y(x) =\exp\!\bigl(\tfrac{2}{1+x^{2}}\bigr)\,\Biggl[ C+\int (1+x^{2})^{-4}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{2}{1+x^{2}}\bigr)\,dx \Biggr].

Resposta

\boxed{y(x) =\exp\!\bigl(\tfrac{2}{1+x^{2}}\bigr)\Bigl[ C+\int (1+x^{2})^{-4}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{2}{1+x^{2}}\bigr)\,dx \Bigr].}

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