Resolva as EDOs e PVI’s lineares de primeira ordem:
t y^{\prime}(t)+(t+1) y(t)=t, y(\ln 2)=1, t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
t\,y'(t)+(t+1)\,y(t)=t,
com condição inicial y(\ln 2)=1 e pede y(t) para t>0. O método que vamos usar é o do fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação por t (que é positivo para t>0), colocamos em forma padrão
y'(t)+\frac{t+1}{t}\,y(t)=1.
Aqui identificamos
p(t)=\frac{t+1}{t}=1+\frac1t \quad\text{e}\quad q(t)=1.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int\bigl(1+\tfrac1t\bigr)\,dt\Bigr) =\exp\bigl(t+\ln t\bigr) =t\,e^t.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t) obtemos
t\,e^t\,y'(t)+(t\,e^t)\,\frac{t+1}{t}\,y(t) =\;(t\,e^t)\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(t\,e^t\,y(t)\bigr)=t\,e^t.
Agora integramos ambos os lados:
t\,e^t\,y(t)=\int t\,e^t\,dt.
Usando integração por partes em \int t\,e^t\,dt:
\int t\,e^t\,dt =t\,e^t-\int e^t\,dt =t\,e^t-e^t+C =e^t\bigl(t-1\bigr)+C.

Passo 5

Logo
t\,e^t\,y(t) =e^t\bigl(t-1\bigr)+C \quad\Longrightarrow\quad y(t) =\frac{e^t(t-1)+C}{t\,e^t} =\frac{t-1}{t}+\frac{C\,e^{-t}}{t} =1-\frac1t+\frac{C\,e^{-t}}{t}.

Passo 6

Aplicamos y(\ln2)=1. Para t_0=\ln2:
1 =y(\ln2) =1-\frac1{\ln2}+\frac{C\,e^{-\ln2}}{\ln2} =1-\frac1{\ln2}+\frac{C}{2\,\ln2}.
Isolando C:
\frac{C}{2\,\ln2}=\frac1{\ln2} \quad\Longrightarrow\quad C=2.

Resposta

\boxed{y(t)=1-\frac1t+\frac{2\,e^{-t}}{t},\quad t>0.}

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