Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações dadas:
- A equação depende da função desconhecida
de uma variável (suponho ). - Não foi fornecida nenhuma condição inicial (PVI) explícita.
O que o enunciado pede:
- Determinar a solução geral da EDO.
- (Se houver um PVI
, determinar a solução particular correspondente.)
Passo 2
Reconhecendo a equação: ela é uma EDO linear de primeira ordem homogênea com coeficiente constante. Uma maneira simples e direta de resolvê‑la é tratar como uma equação separável. Escrevemos a derivada explicitamente como
e isolamos termos em
e
:
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos com
em um lado e com
no outro:
Observação rápida: esta separação exige temporariamente
; a solução
aparecerá como caso particular quando tratarmos da constante de integração.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Vou usar integrais indefinidas; cada lado recebe uma constante eventualmente, que combinamos numa só constante.
As integrais são simples:
onde
é uma constante real de integração. Agora “desfazemos” o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Definindo uma constante arbitrária
tal que
e permitindo o sinal (ou, mais simplesmente, definindo
qualquer real), podemos escrever a solução geral de forma mais prática como
onde
é uma constante real arbitrária (essa forma já inclui a solução nula quando
).
Passo 4
Verificação rápida (para me certificar e para você aprender a checar na prova): derivando a solução geral e substituindo na equação original,
Então
logo a solução está correta.
Passo 5
Como obter a solução particular de um PVI? Se for dada uma condição
, basta determinar
pela condição inicial:
Substituindo de volta obtém‑se a solução particular
Exemplo concreto: se
, então
.
Resposta
Solução geral:
, com
.
Se houver PVI
, então a solução particular é
.