Resolva as EDO’s e os PVI’s:
y^{\prime}+16 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y'+16y=0.
Informações dadas:
  • A equação depende da função desconhecida y de uma variável (suponho x).
  • Não foi fornecida nenhuma condição inicial (PVI) explícita.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a solução geral da EDO.
  • (Se houver um PVI y(x_0)=y_0, determinar a solução particular correspondente.)

Passo 2

Reconhecendo a equação: ela é uma EDO linear de primeira ordem homogênea com coeficiente constante. Uma maneira simples e direta de resolvê‑la é tratar como uma equação separável. Escrevemos a derivada explicitamente como \dfrac{dy}{dx} e isolamos termos em y e x:
\frac{dy}{dx} + 16y = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -16y.
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos com y em um lado e com x no outro:
\frac{1}{y}\,dy = -16\,dx.
Observação rápida: esta separação exige temporariamente y\neq 0; a solução y\equiv 0 aparecerá como caso particular quando tratarmos da constante de integração.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Vou usar integrais indefinidas; cada lado recebe uma constante eventualmente, que combinamos numa só constante.
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -16\,dx.
As integrais são simples:
\ln|y| = -16x + C,
onde C é uma constante real de integração. Agora “desfazemos” o logaritmo exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{C} e^{-16x}.
Definindo uma constante arbitrária A tal que A=e^{C}>0 e permitindo o sinal (ou, mais simplesmente, definindo C_1 qualquer real), podemos escrever a solução geral de forma mais prática como
y = C e^{-16x},
onde C é uma constante real arbitrária (essa forma já inclui a solução nula quando C=0).

Passo 4

Verificação rápida (para me certificar e para você aprender a checar na prova): derivando a solução geral e substituindo na equação original,
y(x) = C e^{-16x} \quad\Rightarrow\quad y'(x) = -16 C e^{-16x}.
Então
y'(x)+16y(x) = -16 C e^{-16x} + 16 C e^{-16x} = 0,
logo a solução está correta.

Passo 5

Como obter a solução particular de um PVI? Se for dada uma condição y(x_0)=y_0, basta determinar C pela condição inicial:
y(x_0)=C e^{-16x_0}=y_0 \quad\Rightarrow\quad C = y_0 e^{16x_0}.
Substituindo de volta obtém‑se a solução particular
y(x) = y_0 e^{16x_0} e^{-16x} = y_0 e^{-16(x-x_0)}.
Exemplo concreto: se y(0)=5, então y(x)=5e^{-16x}.

Resposta

Solução geral: y=C e^{-16x}, com C\in\mathbb{R}.
Se houver PVI y(x_0)=y_0, então a solução particular é y(x)=y_0 e^{-16(x-x_0)}.

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