Resolva as EDO’s e os PVI’s:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0, y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução do problema de valor inicial:
  • Equação diferencial: y''-4y'+5y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=2,\qquad y'(0)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a EDO e as duas condições iniciais.

Passo 2

Escolha do método (breve justificativa): para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, o método padrão é assumir uma solução exponencial y=e^{rx} e obter a equação característica. Esse método é direto, rápido e adequado aqui porque os coeficientes são constantes e não há termo fonte. Vou aplicá‑lo passo a passo.

Passo 3

Formar a equação característica substituindo y=e^{rx} na EDO. Ao derivar temos y'=r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}. Substituindo:
r^2 e^{rx} - 4 r e^{rx} + 5 e^{rx} = 0.
Dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtém‑se a equação característica:
r^2 - 4r + 5 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

Calcular as raízes da quadrática. O discriminante é
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 16 - 20 = -4.
Portanto as raízes são complexas:
r = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i.

Passo 5

Interpretação das raízes complexas e forma geral da solução. Quando as raízes da característica são \alpha \pm i\beta (com \beta\neq0), a solução geral real da EDO é
y(x) = e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais. Essa forma vem de combinar as soluções complexas e^{(\alpha\pm i\beta)x} e usar a fórmula de Euler para obter funções reais \cos e \sin.
No nosso caso \alpha=2 e \beta=1, logo a solução geral é
y(x)=e^{2x}\big(C_1\cos x + C_2\sin x\big).

Passo 6

Calcular a derivada y'(x) para aplicar a condição inicial y'(0)=0. Usamos a regra do produto e a derivada de \cos e \sin.
Defina u(x)=C_1\cos x + C_2\sin x, então y=e^{2x}u. Temos
y' = \big(e^{2x}\big)'u + e^{2x}u' = 2e^{2x}u + e^{2x}u' = e^{2x}\big(2u + u'\big).
Agora u' = -C_1\sin x + C_2\cos x. Substituindo:
y'(x)=e^{2x}\big[(2C_1\cos x + 2C_2\sin x) + (-C_1\sin x + C_2\cos x)\big].
Agrupando termos em \cos x e \sin x:
y'(x)=e^{2x}\big[(2C_1 + C_2)\cos x + (2C_2 - C_1)\sin x\big].

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=2. Substituindo x=0 na expressão de y:
y(0)=e^{0}\big(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\big)=1\cdot(C_1\cdot1 + C_2\cdot0)=C_1.
Portanto
C_1 = 2.

Passo 8

Aplicar a condição y'(0)=0. Substituindo x=0 na expressão de y':
y'(0)=e^{0}\big[(2C_1 + C_2)\cos 0 + (2C_2 - C_1)\sin 0\big]=(2C_1 + C_2)\cdot1 + 0.
Como y'(0)=0, obtemos
2C_1 + C_2 = 0.
Substituindo C_1=2:
2\cdot 2 + C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -4.

Passo 9

Escrever a solução particular com as constantes encontradas. Substituindo C_1=2 e C_2=-4 na solução geral:
y(x)=e^{2x}\big(2\cos x - 4\sin x\big).
Podemos também fatorar 2 se quisermos:
y(x)=2e^{2x}\big(\cos x - 2\sin x\big).

Resposta

y(x)=e^{2x}\big(2\cos x - 4\sin x\big)

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