Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução do problema de valor inicial:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a EDO e as duas condições iniciais.
Passo 2
Escolha do método (breve justificativa): para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, o método padrão é assumir uma solução exponencial
e obter a equação característica. Esse método é direto, rápido e adequado aqui porque os coeficientes são constantes e não há termo fonte. Vou aplicá‑lo passo a passo.
Passo 3
Formar a equação característica substituindo
na EDO. Ao derivar temos
e
. Substituindo:
Dividindo por
(que nunca é zero) obtém‑se a equação característica:
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 4
Calcular as raízes da quadrática. O discriminante é
Portanto as raízes são complexas:
Passo 5
Interpretação das raízes complexas e forma geral da solução. Quando as raízes da característica são
(com
), a solução geral real da EDO é
onde
e
são constantes reais. Essa forma vem de combinar as soluções complexas
e usar a fórmula de Euler para obter funções reais
e
.
No nosso caso
e
, logo a solução geral é
Passo 6
Calcular a derivada
para aplicar a condição inicial
. Usamos a regra do produto e a derivada de
e
.
Defina , então
. Temos
Defina
Agora
. Substituindo:
Agrupando termos em
e
:
Passo 7
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
:
Portanto
Passo 8
Aplicar a condição
. Substituindo
na expressão de
:
Como
, obtemos
Substituindo
:
Passo 9
Escrever a solução particular com as constantes encontradas. Substituindo
e
na solução geral:
Podemos também fatorar
se quisermos: