Resolva as EDOs do tipo da Equação de Bernoulli a seguir.
\frac{d y}{d x}+y=y^{2} e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}+y=y^{2}e^{x},
e pede que se resolva para y(x).
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação contém derivada \dfrac{dy}{dx}, termos lineares em y e um termo não linear y^{2}e^{x}.
  • Quer-se encontrar a família geral de soluções y(x) (constante de integração C incluída).
  • Deve-se observar se há soluções singulares (por exemplo y\equiv 0).

Passo 2

Vamos transformar a equação para uma forma mais fácil de resolver. Primeiro explico a ideia (passo a passo, bem mastigado):
Observação sobre a estrutura: há um termo y^{2} que torna a equação não linear. Uma técnica padrão para equações com termo y^{n} é fazer uma mudança de variável que torne a equação linear. Aqui o expoente é n=2.
Escolha da substituição (por que funciona): definir uma nova função u(x) relacionada a y por
u = y^{1-n}.
No nosso caso n=2, então
u = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}.
Essa escolha é feita porque, ao derivar u em função de y, o fator y^{-2} aparece e cancela o y^{2} do termo não linear, transformando a equação numa equação linear para u.

Passo 3

Calcular \dfrac{du}{dx} em função de \dfrac{dy}{dx}. Como u=y^{-1}, usando regra da cadeia:
\frac{du}{dx} = -1\cdot y^{-2}\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Agora manipular a equação original para introduzir y^{-2}\frac{dy}{dx}. A equação original é
\frac{dy}{dx}+y=y^{2}e^{x}.
Multiplicando ambos os lados por -y^{-2} (para criar o \dfrac{du}{dx} que encontrámos):
-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx} - \frac{y}{y^{2}} = -e^{x}.
Simplificando o segundo termo \dfrac{y}{y^{2}}=y^{-1}=u e lembrando que -\dfrac{1}{y^{2}}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}, obtemos a equação linear para u:
\frac{du}{dx} - u = -e^{x}.

Passo 4

Resolver a equação linear de primeira ordem
\frac{du}{dx} - u = -e^{x}.
Vou resolver pelo fator integrante. A forma padrão é \dfrac{du}{dx}+P(x)u=Q(x). Aqui P(x)=-1 e Q(x)=-e^{x}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -1\,dx\right)=e^{-x}.
Multiplicando toda a equação por \mu(x)=e^{-x}:
e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u = -e^{-x}e^{x} = -1.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto e^{-x}u:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}u\bigr) = -1.
Integrando ambos os lados em x:
e^{-x}u = \int -1\,dx = -x + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
u = e^{x}(-x + C) = e^{x}(C - x).

Passo 5

Voltar à variável original y. Lembrando que u=\dfrac{1}{y}, temos
\frac{1}{y} = e^{x}(C - x).
Invertendo,
y(x) = \frac{1}{e^{x}(C - x)} = \frac{e^{-x}}{C - x}.
Observações importantes sobre a solução:
  • A expressão acima dá a família geral de soluções não nulas, parametrizada por C.
  • Há também a solução trivial y\equiv 0 (verificar: se y=0 temos 0+0=0, satisfaz a equação). Essa solução não aparece na mudança u=1/y porque ali u ficaria indefinido.
  • Pontos onde C-x=0 são singulares (solução explode); ao escrever a solução, a função está definida em intervalos onde C-x\neq 0.
  • Pode-se checar substituindo y(x)=\dfrac{e^{-x}}{C-x} na equação original — a verificação direta é possível diferenciando e confirmando a igualdade (omito os detalhes algébricos longos porque já seguimos um método padrão).

Resposta

y(x)=\frac{e^{-x}}{C-x}
y(x)\equiv 0

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