Resolva as EDOs do tipo da Equação de Bernoulli a seguir.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede que se resolva para
.
Informações relevantes do enunciado:
- A equação contém derivada
, termos lineares em e um termo não linear . - Quer-se encontrar a família geral de soluções
(constante de integração incluída). - Deve-se observar se há soluções singulares (por exemplo
).
Passo 2
Vamos transformar a equação para uma forma mais fácil de resolver. Primeiro explico a ideia (passo a passo, bem mastigado):
Observação sobre a estrutura: há um termo
que torna a equação não linear. Uma técnica padrão para equações com termo
é fazer uma mudança de variável que torne a equação linear. Aqui o expoente é
.
Escolha da substituição (por que funciona): definir uma nova função
relacionada a
por
No nosso caso
, então
Essa escolha é feita porque, ao derivar
em função de
, o fator
aparece e cancela o
do termo não linear, transformando a equação numa equação linear para
.
Passo 3
Calcular
em função de
. Como
, usando regra da cadeia:
Agora manipular a equação original para introduzir
. A equação original é
Multiplicando ambos os lados por
(para criar o
que encontrámos):
Simplificando o segundo termo
e lembrando que
, obtemos a equação linear para
:
Passo 4
Resolver a equação linear de primeira ordem
Vou resolver pelo fator integrante. A forma padrão é
. Aqui
e
.
O fator integrante é
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo é agora a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Portanto
Passo 5
Voltar à variável original
. Lembrando que
, temos
Invertendo,
Observações importantes sobre a solução:
- A expressão acima dá a família geral de soluções não nulas, parametrizada por
. - Há também a solução trivial
(verificar: se temos , satisfaz a equação). Essa solução não aparece na mudança porque ali ficaria indefinido. - Pontos onde
são singulares (solução explode); ao escrever a solução, a função está definida em intervalos onde . - Pode-se checar substituindo
na equação original — a verificação direta é possível diferenciando e confirmando a igualdade (omito os detalhes algébricos longos porque já seguimos um método padrão).