Calcule derivada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações que temos:
- A função está escrita como raíz quadrada de uma razão:
. - Preciso fornecer a expressão de
(a derivada) e indicar para quais valores de essa derivada existe.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver ainda): escrever a raiz como potência e usar a regra da cadeia. Isso é prático porque a raiz é uma composição de funções: uma potência exterior aplicada a uma função interior que é uma razão. Vou explicar as regras que vou usar.
Regra da cadeia (explicação didática): se
, então
Aqui
é a função exterior e
é a função interior. A ideia é derivar primeiro a função externa em relação à interna e depois multiplicar pela derivada da interna.
Também precisarei derivar a razão interior. Para isso uso a regra do quociente (quotient rule): se
com
e
diferenciáveis e
, então
Nessas fórmulas, cada símbolo é:
-
: funções que formam o numerador e denominador; -
: derivadas de e ; -
: derivada da razão.
Passo 3
Aplicando a ideia: escrevo a função como potência.
Defino a função interior
Vou calcular
usando a regra do quociente com
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora aplico a regra da cadeia com
(ou seja
) e
. Assim
Substituo
e
:
O
cancela:
Passo 5
Agora simplifico a expressão para uma forma mais direta. Lembrando que
, tenho
portanto
Posso rearranjar os radicais para uma única potência:
desde que se entenda que as raízes estão avaliadas onde fazem sentido (ver próximo passo sobre domínio).
Passo 6
Observação sobre domínio (importante para a prova):
- A função original
exige que e . - Isso ocorre quando
ou . Em a função vale (porque numerador zero), mas a derivada é não-finit a (comportamento do tipo ), então não existe em . - Em
a função nem sequer está definida (denominador zero).
Portanto a expressão paraé válida para e para .
Exemplos numéricos rápidos para fixar:
- Para
: use a forma e obtenha
- Para
: use a forma . Como e , a razão dentro da raiz é , então