Calcule derivada:
\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}.
Informações que temos:
  • A função está escrita como raíz quadrada de uma razão: \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}.
  • Preciso fornecer a expressão de f'(x) (a derivada) e indicar para quais valores de x essa derivada existe.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): escrever a raiz como potência e usar a regra da cadeia. Isso é prático porque a raiz é uma composição de funções: uma potência exterior aplicada a uma função interior que é uma razão. Vou explicar as regras que vou usar.
Regra da cadeia (explicação didática): se f(x)=g(h(x)), então
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui g é a função exterior e h é a função interior. A ideia é derivar primeiro a função externa em relação à interna e depois multiplicar pela derivada da interna.
Também precisarei derivar a razão interior. Para isso uso a regra do quociente (quotient rule): se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Nessas fórmulas, cada símbolo é:
  • u(x),v(x): funções que formam o numerador e denominador;
  • u'(x),v'(x): derivadas de u e v;
  • h'(x): derivada da razão.

Passo 3

Aplicando a ideia: escrevo a função como potência.
f(x)=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{1/2}.
Defino a função interior
u(x)=\frac{x-1}{x+1}.
Vou calcular u'(x) usando a regra do quociente com u_1(x)=x-1 e v_1(x)=x+1. Então u_1'(x)=1 e v_1'(x)=1. Aplicando a fórmula:
u'(x)=\frac{(x+1)\cdot 1 - (x-1)\cdot 1}{(x+1)^2} =\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} =\frac{2}{(x+1)^2}.

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia com g(t)=t^{1/2} (ou seja g'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}) e t=u(x). Assim
f'(x)=\frac{1}{2}\,u(x)^{-1/2}\cdot u'(x).
Substituo u(x) e u'(x):
f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-1/2}\cdot\frac{2}{(x+1)^2}.
O 2 cancela:
f'(x)=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-1/2}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 5

Agora simplifico a expressão para uma forma mais direta. Lembrando que t^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{t}}, tenho
\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-1/2}=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}},
portanto
f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}.
Posso rearranjar os radicais para uma única potência:
f'(x)=\frac{1}{(x+1)^{3/2}\sqrt{x-1}},
desde que se entenda que as raízes estão avaliadas onde fazem sentido (ver próximo passo sobre domínio).

Passo 6

Observação sobre domínio (importante para a prova):
  • A função original f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}} exige que \dfrac{x-1}{x+1}\ge 0 e x\neq -1.
  • Isso ocorre quando x>1 ou x<-1. Em x=1 a função vale 0 (porque numerador zero), mas a derivada é não-finit a (comportamento do tipo (x-1)^{-1/2}), então f' não existe em x=1.
  • Em x=-1 a função nem sequer está definida (denominador zero).
    Portanto a expressão para f'(x) é válida para x<-1 e para x>1.
Exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • Para x=2: use a forma \dfrac{1}{(x+1)^{3/2}\sqrt{x-1}} e obtenha
f'(2)=\frac{1}{3^{3/2}\cdot 1}=\frac{1}{3\sqrt{3}}.
  • Para x=-2: use a forma \dfrac{1}{(x+1)^2}\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}. Como x+1=-1 e x-1=-3, a razão dentro da raiz é \dfrac{-1}{-3}=\tfrac{1}{3}, então
f'(-2)=\frac{1}{(-1)^2}\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\quad\text{para }x<-1\text{ ou }x>1

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