Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares.
(k)\left\{\begin{aligned} x+z+2 w & =0 \\\\ 2 x+3 z-3 w & =0 \\\ y+2 w & =2 \\\ x+2 z+w & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e encontrar os valores de x,y,z,w. O sistema fornecido é:
(k)\left\{ \begin{aligned} x+z+2w &= 0,\\[4pt] 2x+3z-3w &= 0,\\[4pt] y+2w &= 2,\\[4pt] x+2z+w &= 0. \end{aligned} \right.
Informações relevantes que temos:
  • São quatro incógnitas: x,y,z,w.
  • São quatro equações (listadas acima).
  • O objetivo é determinar os valores de x,y,z,w que satisfazem todas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Breve ideia do método que vamos aplicar (aula rápida): transformamos o sistema em uma matriz aumentada e usamos operações elementares sobre linhas para eliminar incógnitas progressivamente até obter uma forma que permita ler as soluções diretamente.
Operações elementares permitidas (o que normalmente se faz à mão na prova):
  • trocar duas linhas entre si;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
    Chamamos “pivô” o primeiro elemento não nulo de uma linha (da esquerda para a direita) quando já estamos em processo de eliminação. Depois de obter uma forma triangular (ou escalonada), fazemos substituição regressiva para encontrar as incógnitas. Vou executar passo a passo cada operação e explicar a razão de cada uma.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada do sistema na ordem das incógnitas x,y,z,w. Cada linha corresponde a uma equação; a coluna à direita é o vetor de termos constantes:
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right]
Explicando: a primeira linha representa 1\cdot x+0\cdot y+1\cdot z+2\cdot w=0, e assim por diante.]

Passo 4

Escolhemos como pivô inicial o elemento 1 da primeira linha, primeira coluna (correspondente a x). Usamos essa linha para zerar as entradas abaixo dela na coluna de x (ou seja, tornar 0 as primeiras entradas das linhas 2 e 4), aplicando operações do tipo R_i \leftarrow R_i - m\cdot R_1.
  • Eliminar x da linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
    Cálculo componente a componente:
    R_2 = [2,0,3,-3\mid0] - 2\cdot[1,0,1,2\mid0] = [0,0,1,-7\mid0].
  • A linha 3 já tem entrada zero na coluna x, mantemos R_3 como está:
    R_3 = [0,1,0,2\mid2].
  • Eliminar x da linha 4: R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
    R_4 = [1,0,2,1\mid0] - [1,0,1,2\mid0] = [0,0,1,-1\mid0].
A matriz resulta em:
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -7 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right]
Comentário didático: agora a primeira coluna (coluna de x) tem zeros abaixo do pivô, então x está “isolado” nesta etapa. As linhas 2 e 4 têm ambas um 1 na coluna de z; vamos usar uma delas como pivô para z.]

Passo 5

Escolhemos a linha 2 como pivô para a variável z (elemento 1 na coluna 3). Usamos R_2 para zerar as outras entradas na coluna de z, ou seja, em R_1 e R_4.
  • Eliminar z da linha 1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
    R_1 = [1,0,1,2\mid0] - [0,0,1,-7\mid0] = [1,0,0,9\mid0].
    Explicação da conta em w: 2 - (-7) = 2 + 7 = 9.
  • Eliminar z da linha 4: R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
    R_4 = [0,0,1,-1\mid0] - [0,0,1,-7\mid0] = [0,0,0,6\mid0].
A linha 3 permanece R_3=[0,1,0,2\mid2]. A matriz passa a ser:
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 9 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -7 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \end{array} \right]
Comentário didático: agora a matriz está quase em forma escalonada reduzida por linhas; a quarta linha mostra uma equação envolvendo apenas w, o que é ótimo porque já permite encontrar w diretamente.]

Passo 6

Ler cada linha como equação e resolver começando pela última linha (substituição regressiva):
  • A linha 4 corresponde a \,0x+0y+0z+6w=0. Assim:
    6w = 0 \quad\Rightarrow\quad w = 0.
  • A linha 2 corresponde a \,0x+0y+1\cdot z -7w = 0. Substituindo w=0:
    z -7\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 0.
  • A linha 1 corresponde a \,1\cdot x +0y+0z +9w = 0. Substituindo w=0:
    x + 9\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
  • A linha 3 corresponde a \,0x +1\cdot y +0z +2w = 2. Substituindo w=0:
    y + 2\cdot 0 = 2 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Comentário didático final: todas as incógnitas foram determinadas sem ambiguidade; a solução é única. Isso aconteceu porque durante a eliminação obtivemos uma linha não nula independente para cada variável (a matriz tem posto completo).

Resposta

x=0
y=2
z=0
w=0

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