Sempre que possível calcule:
\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}30 & 4 & -1 \\\\ 2 & 10 & -2 \\\\ 2 & 20 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 3\times3 e pede que se calcule o produto entre elas:
I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}30 & 4 & -1 \\[4pt] 2 & 10 & -2 \\[4pt] 2 & 20 & 4\end{pmatrix}.
A tarefa é calcular I\!A.]

Passo 2

Regra básica para multiplicação de matrizes: se B e C são matrizes 3\times3, o elemento na linha i e coluna j do produto BC é dado por
(BC)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} B_{ik}\,C_{kj}.
Aqui B_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de B, e C_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de C. Essa fórmula diz: para obter o elemento ij do produto, multiplica-se termo a termo a linha i de B pela coluna j de C e soma-se.

Passo 3

Propriedade importante (identidade): a matriz I tem I_{11}=I_{22}=I_{33}=1 e todos os outros elementos iguais a 0. Multiplicar uma linha de I por uma coluna de A seleciona exatamente a correspondente linha de A. Ainda assim, vamos calcular elemento a elemento para ficar bem claro.

Passo 4

Calcular a primeira linha do produto I A. A primeira linha de I é (1,0,0).
  • Elemento (1,1):
(IA)_{11}=1\cdot30+0\cdot2+0\cdot2=30.
  • Elemento (1,2):
(IA)_{12}=1\cdot4+0\cdot10+0\cdot20=4.
  • Elemento (1,3):
(IA)_{13}=1\cdot(-1)+0\cdot(-2)+0\cdot4=-1.

Passo 5

Calcular a segunda linha do produto I A. A segunda linha de I é (0,1,0).
  • Elemento (2,1):
(IA)_{21}=0\cdot30+1\cdot2+0\cdot2=2.
  • Elemento (2,2):
(IA)_{22}=0\cdot4+1\cdot10+0\cdot20=10.
  • Elemento (2,3):
(IA)_{23}=0\cdot(-1)+1\cdot(-2)+0\cdot4=-2.

Passo 6

Calcular a terceira linha do produto I A. A terceira linha de I é (0,0,1).
  • Elemento (3,1):
(IA)_{31}=0\cdot30+0\cdot2+1\cdot2=2.
  • Elemento (3,2):
(IA)_{32}=0\cdot4+0\cdot10+1\cdot20=20.
  • Elemento (3,3):
(IA)_{33}=0\cdot(-1)+0\cdot(-2)+1\cdot4=4.

Passo 7

Juntando todos os elementos calculados, a matriz produto I A tem linhas:
primeira (30,4,-1), segunda (2,10,-2) e terceira (2,20,4). Observação final: isso confirma a propriedade intuitiva de que a multiplicação por I deixa a matriz inalterada.

Resposta

\begin{pmatrix}30 & 4 & -1 \\[4pt] 2 & 10 & -2 \\[4pt] 2 & 20 & 4\end{pmatrix}]

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