Resolva a equação dada por separação de variáveis.
\left(y-y x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=(y+1)^{2};

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
(y - y x^{2})\,\frac{dy}{dx} = (y+1)^{2}.
O conteúdo aqui é EDO separável: precisamos isolar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro.

Passo 2

Começamos dividindo ambos os lados por y(1 - x^{2}), obtendo
\frac{dy}{dx} = \frac{(y+1)^{2}}{y\,(1 - x^{2})} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy = \frac{dx}{1 - x^{2}}.

Passo 3

Integramos o lado esquerdo em relação a y:
\int \frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy.
Fazendo u = y+1, temos du = dy e y = u-1, então
\int \frac{u-1}{u^{2}}\,du = \int \biggl(\frac{1}{u} - u^{-2}\biggr)\,du = \ln\lvert u\rvert + u^{-1} + C_{1} = \ln\lvert y+1\rvert + \frac{1}{y+1} + C_{1}.

Passo 4

Integramos o lado direito em relação a x:
\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\,\ln\biggl\lvert\frac{1+x}{1-x}\biggr\rvert + C_{2}.

Passo 5

Igualando as integrais e absorvendo C_{1}-C_{2} em uma constante genérica C, obtemos a solução implícita
\ln\lvert y+1\rvert + \frac{1}{y+1} = \frac{1}{2}\,\ln\biggl\lvert\frac{1+x}{1-x}\biggr\rvert + C.

Resposta

\ln\lvert y+1\rvert + \frac{1}{y+1} = \frac{1}{2}\,\ln\!\Bigl\lvert\frac{1+x}{1-x}\Bigr\rvert + C.

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