Resolva a equação diferencial dada em série de potências. Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
\left(4-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 y=0, em torno de x=0

Passo 1

O enunciado pede resolver em torno de x=0 a EDO
(4 - x^2)\,y'' + 2\,y = 0
usando série de potências.
Vamos assumir
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n,
calcular y'', substituir na EDO e obter uma relação de recorrência para os coeficientes a_n.

Passo 2

Da hipótese
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n
vem
y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,a_n\,x^{n-2} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)\,a_{m+2}\,x^{m}.
Assim
(4 - x^2)\,y'' = 4\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}x^m - \sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}x^{m+2}.
Somando 2y=\sum_{n=0}^\infty2a_nx^n e igualando a zero, agrupamos potências de x^n.

Passo 3

Para n\ge2, o coeficiente de x^n
4(n+2)(n+1)a_{n+2} \;+\;2a_n \;-\;n(n-1)a_n = 0 \;\Longrightarrow\; a_{n+2} = \frac{n(n-1)-2}{4(n+2)(n+1)}\,a_n.
Nos casos iniciais n=0 e n=1 obtemos
8\,a_2 + 2\,a_0 = 0 \;\Longrightarrow\; a_2 = -\frac{a_0}{4}, \qquad 24\,a_3 + 2\,a_1 = 0 \;\Longrightarrow\; a_3 = -\frac{a_1}{12},
o que bate com a fórmula geral para n=0,1.

Passo 4

A recorrência separa-se em dois ramos:
  1. n=2j (coeficientes pares). Da fórmula
a_{2j+2} = \frac{(2j)(2j-1)-2}{4(2j+2)(2j+1)}\,a_{2j} = \frac{j-1}{4(j+1)}\,a_{2j}.
Com a_0 livre, vem
a_2 = -\frac{a_0}{4}, \qquad a_4 = 0, \qquad a_6 = 0, \;\dots
Logo a solução “par” é um polinômio de grau 2:
y_1(x) = a_0\Bigl(1 - \frac{x^2}{4}\Bigr).
  1. n=2j+1 (coeficientes ímpares). Da fórmula
a_{2j+3} = \frac{(2j+1)(2j)-2}{4(2j+3)(2j+2)}\,a_{2j+1} = \frac{2j-1}{4(2j+3)}\,a_{2j+1}.
Com a_1 livre, gera-se série infinita. Para k\ge1 (termo x^{2k+1}) obtemos em forma fechada usando duplo fatorial:
a_{2k+1} = -\,\frac{(2k-3)!!}{4^k\,(2k+1)!!}\;a_1,
onde (2k-3)!!=1\cdot3\cdots(2k-3) e (2k+1)!!=1\cdot3\cdots(2k+1).
Assim a solução “ímpar” é
y_2(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1}\,x^{2k+1} = a_1\Bigl[x \;-\;\frac{x^3}{12}\;-\;\frac{x^5}{240}\;-\cdots\Bigr].

Passo 5

O raio de convergência da série é determinado pelo ponto singular mais próximo de 0, que ocorre em x=\pm2.
Portanto a solução geral é
y(x) = C_1\Bigl(1 - \frac{x^2}{4}\Bigr) + C_2\;\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl[-\,\frac{(2k-3)!!}{4^k(2k+1)!!}\Bigr]\;x^{2k+1},
válida para \lvert x\rvert<2.

Resposta

\boxed{ y(x) = C_1\Bigl(1 - \tfrac{x^2}{4}\Bigr) \;+\; C_2\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl[-\,\frac{(2k-3)!!}{4^k\,(2k+1)!!}\Bigr]\,x^{2k+1}, \quad |x|<2. }

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