Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando método de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e coeficientes indeterminados para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada
A equação característica é
Logo
Passo 3
Como o termo forçante é
, que é da forma da solução homogênea, temos ressonância. Assim propomos
Passo 4
Chamando
, um cálculo direto de
e substituição em
mostra que todos os termos em
com
se cancelam, restando
Para que isso seja igual a
precisamos de
Passo 5
Como
devemos ter
Comparando coeficientes,
Logo
Passo 6
A solução geral é
Passo 7
Agora impondo as condições iniciais:
dá
.
Para , calcula-se
Para