Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-x} \cos (2 x), y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+2y'+5y = 4e^{-x}\cos(2x), \quad y(0)=1,\;y'(0)=0,
usando método de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e coeficientes indeterminados para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada
y''+2y'+5y=0.
A equação característica é
r^2+2r+5=0 \quad\Longrightarrow\quad r=-1\pm2i.
Logo
y_h(x)=e^{-x}\bigl(A\cos2x + B\sin2x\bigr).

Passo 3

Como o termo forçante é 4e^{-x}\cos2x, que é da forma da solução homogênea, temos ressonância. Assim propomos
y_p(x)=x\,e^{-x}\bigl(C\cos2x + D\sin2x\bigr).

Passo 4

Chamando u(x)=C\cos2x+D\sin2x, um cálculo direto de y_p'',\,y_p' e substituição em y''+2y'+5y mostra que todos os termos em u com x se cancelam, restando
y''+2y'+5y =2e^{-x}u'(x).
Para que isso seja igual a 4e^{-x}\cos2x precisamos de
2u'(x)=4\cos2x \quad\Longrightarrow\quad u'(x)=2\cos2x.

Passo 5

Como
u'(x)=-2C\sin2x+2D\cos2x
devemos ter
-2C\sin2x+2D\cos2x = 2\cos2x.
Comparando coeficientes,
2D=2\implies D=1, \quad -2C=0\implies C=0.
Logo
y_p(x)=x\,e^{-x}\sin2x.

Passo 6

A solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_p(x) = e^{-x}\bigl(A\cos2x + B\sin2x\bigr) + x\,e^{-x}\sin2x.

Passo 7

Agora impondo as condições iniciais: y(0)=1 A=1.
Para y'(0)=0, calcula-se
y'(0)=-A+2B=0 \quad\Longrightarrow\quad -1+2B=0 \quad\Longrightarrow\quad B=\tfrac12.

Resposta

\boxed{y(x)=e^{-x}\Bigl(\cos2x + \tfrac12\sin2x\Bigr)+x\,e^{-x}\sin2x.}

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