Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
\frac{d y}{d t}+t y=y, y(1)=3;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dt} + t\,y = y
com a condição inicial y(1)=3. Este é um caso de equação separável (ou linear), já que podemos isolar \frac{dy}{dt} como função de t vezes y. Vamos usar separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Reescrevendo a equação, isolamos \frac{dy}{dt}:
\frac{dy}{dt} = y - t\,y = y\,(1 - t).
Agora separamos as variáveis y e t:
\frac{dy}{y} = (1 - t)\,dt.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int \frac{dy}{y} = \int (1 - t)\,dt.
Isso dá
\ln\!\bigl|y\bigr| = t - \frac{t^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponentiando ambos os lados, obtemos
y = C_1 \,e^{\,t - \tfrac{t^2}{2}},
onde C_1 = e^C é outra constante.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=3:
3 = C_1\,e^{\,1 - \tfrac{1^2}{2}} = C_1\,e^{\,\tfrac12},
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C_1 = 3\,e^{-\tfrac12}.

Resposta

y(t) = 3\,e^{-\tfrac12}\;e^{\,t - \tfrac{t^2}{2}} = 3\exp\!\Bigl(t - \frac{t^2}{2} - \frac12\Bigr).

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