Resolva a equação dada por separação de variáveis.
y\left(4-x^{2}\right)^{1 / 2} d y=\left(4+y^{2}\right)^{1 / 2} d x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
y\sqrt{4-x^{2}}\;dy \;=\;\sqrt{4+y^{2}}\;dx.
O conteúdo é equação de primeira ordem separável: vamos isolar termos com y de um lado e termos com x do outro.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por \sqrt{4+y^{2}}\sqrt{4-x^{2}}, obtemos
\frac{y}{\sqrt{4+y^{2}}}\;dy \;=\;\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\;dx.

Passo 3

Agora que cada lado depende de uma só variável, integramos:
\int \frac{y}{\sqrt{4+y^{2}}}\;dy \;=\;\int \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\;dx.

Passo 4

No lado esquerdo, use u=4+y^{2}, du=2y\,dy:
\int \frac{y}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy =\frac12\int u^{-1/2}\,du =\sqrt{u} =\sqrt{4+y^{2}}.
No lado direito, sabemos que
\int \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx =\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).
Logo, após a integração:
\sqrt{4+y^{2}} =\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)+C.

Passo 5

Reescrevendo a solução geral de forma implícita, temos
\sqrt{4+y^{2}}-\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)=C.
Se quiser isolar y, basta elevar ao quadrado e resolver:
y=\pm\sqrt{\Bigl(\arcsin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C\Bigr)^{2}-4}.

Resposta

\sqrt{4+y^{2}}-\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=C

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