Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0, \quad y(1)=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
. Vamos reconhecer que é uma equação de forma exata e resolver encontrando uma função potencial
tal que
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
. Calculando
devemos ter
Passo 5
A função potencial geral é
e a solução implícita da equação é
Passo 6
Impondo a condição
, temos
logo
.