Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(1-\frac{3}{x}+y) d x+\left(1-\frac{3}{y}+x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = 1 - \frac{3}{x} + y, \qquad N(x,y) = 1 - \frac{3}{y} + x.
O conteúdo aqui é verificar se a equação é exata (isto é, se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que d\psi = M\,dx + N\,dy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(1 - \tfrac{3}{x} + y\bigr) = 1,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(1 - \tfrac{3}{y} + x\bigr) = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) = 1 - \frac{3}{x} + y.
Integramos em relação a x:
\psi(x,y) = \int\Bigl(1 - \frac{3}{x} + y\Bigr)\,dx = x - 3\ln\lvert x\rvert + xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração dependente só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x + h'(y)
e igualamos a N(x,y):
x + h'(y) = 1 - \frac{3}{y} + x \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 1 - \frac{3}{y}.
Integrando em y:
h(y) = \int\Bigl(1 - \frac{3}{y}\Bigr)\,dy = y - 3\ln\lvert y\rvert + C_1.

Passo 5

Substituindo h(y) em \psi(x,y), obtemos a função potencial completa:
\psi(x,y) = x - 3\ln\lvert x\rvert + xy + \bigl(y - 3\ln\lvert y\rvert\bigr) = xy + x + y - 3\ln\lvert x\rvert - 3\ln\lvert y\rvert + C_1.
A solução geral implícita é
\psi(x,y) = C,
onde C é constante de integração.

Resposta

xy + x + y - 3\ln\lvert x\rvert - 3\ln\lvert y\rvert = C.

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