Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-3 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0)

Passo 1

O problema pede a solução da equação diferencial de quarta ordem sujeita às condições iniciais dadas. Aqui estão, explicitamente, o que foi fornecido:
\frac{d^{4}y}{dx^{4}} - 3\frac{d^{3}y}{dx^{3}} + 3\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \frac{dy}{dx} = 0,
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=0,\qquad y''(0)=0,\qquad y^{(3)}(0)=0.
As perguntas implícitas são: encontrar a solução geral da equação e, a partir das condições iniciais, determinar a solução particular (aquela que satisfaz todas as condições).

Passo 2

Para resolver equações lineares com coeficientes constantes como essa, usamos a técnica de tentar soluções do tipo y=e^{r x}. Substituindo y=e^{r x} na equação obtemos a equação característica em r. Faço isso agora: ao derivar y=e^{r x} temos cada derivada produzindo um fator r, então a equação característica é
r^{4}-3r^{3}+3r^{2}-r=0.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio característico. Note que todos os termos têm fator comum r, então
r^{4}-3r^{3}+3r^{2}-r = r\,(r^{3}-3r^{2}+3r-1).
Observe que r^{3}-3r^{2}+3r-1 é a expansão de (r-1)^{3}. Portanto a fatoração completa é
r\,(r-1)^{3}=0.
Logo as raízes são r=0 (simples) e r=1 (de multiplicidade 3).

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes reais com multiplicidade, a forma geral da solução é construída assim:
  • Para uma raiz simples r=0 temos a solução exponencial associada e^{0x}=1, contribuindo com uma constante C_{1}.
  • Para uma raiz r=1 de multiplicidade 3 obtemos as soluções lineares independentes e^{x},\; x e^{x},\; x^{2} e^{x}. Em geral, para raiz r de multiplicidade m aparecem e^{r x}, x e^{r x}, \dots, x^{m-1} e^{r x}.
Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1} + \big(C_{2}+C_{3}x+C_{4}x^{2}\big)e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora vamos calcular as derivadas necessárias (até a terceira) de y(x) para aplicar as condições iniciais. Defino u(x)=C_{2}+C_{3}x+C_{4}x^{2}, então y(x)=C_{1}+u(x)e^{x}. Usando a regra do produto, as derivadas ficam mais organizadas:
Primeira derivada:
u'(x)=C_{3}+2C_{4}x,
y'(x) = \big(u'(x)+u(x)\big)e^{x}.
Segunda derivada: seja v(x)=u'(x)+u(x). Então
v'(x)=u''(x)+u'(x)=2C_{4}+C_{3}+2C_{4}x,
y''(x)=\big(v'(x)+v(x)\big)e^{x}.
Terceira derivada: seja w(x)=v'(x)+v(x). Então
y^{(3)}(x)=\big(w'(x)+w(x)\big)e^{x}.
Vou agora escrever as expressões avaliadas em x=0, que é o que precisamos para as condições iniciais.

Passo 6

Avalio cada expressão em x=0.
De y(x)=C_{1}+u(x)e^{x} obtemos
y(0)=C_{1}+u(0)\cdot e^{0}=C_{1}+C_{2}.
Da primeira derivada y'(x)=(u'+u)e^{x} obtemos
y'(0)=\big(u'(0)+u(0)\big)e^{0}= (C_{3}+0)+(C_{2}) = C_{2}+C_{3}.
Para a segunda derivada, calculando explicitamente v(x)=u'(x)+u(x) temos
v(x) = (C_{2}+C_{3}) + (C_{3}+2C_{4})x + C_{4}x^{2},
portanto
y''(0)=v'(0)+v(0) \quad\text{avaliado em }x=0 \Rightarrow y''(0)= (C_{3}+2C_{4}) + (C_{2}+C_{3}) = C_{2}+2C_{3}+2C_{4}.
Para a terceira derivada, com w(x)=v'(x)+v(x) temos, avaliando em 0,
y^{(3)}(0)=w'(0)+w(0) = C_{2}+3C_{3}+6C_{4}.
(Se quiseres conferir: essas expressões vêm de derivar termo a termo os polinômios que multiplicam e^{x} e somar como mostrado nos passos anteriores.)

Passo 7

Agora aplico as condições iniciais, que impõem quatro equações lineares para C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}.
Da condição y(0)=0:
C_{1}+C_{2}=0. \tag{1}
Da condição y'(0)=0:
C_{2}+C_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{3}=-C_{2}. \tag{2}
Da condição y''(0)=0:
C_{2}+2C_{3}+2C_{4}=0.
Substituindo C_{3}=-C_{2} nessa equação:
C_{2}+2(-C_{2})+2C_{4}=0 \;\Rightarrow\; -C_{2}+2C_{4}=0 \;\Rightarrow\; C_{4}=\frac{C_{2}}{2}. \tag{3}
Da condição y^{(3)}(0)=0:
C_{2}+3C_{3}+6C_{4}=0.
Substituindo C_{3}=-C_{2} e C_{4}=C_{2}/2:
C_{2}+3(-C_{2})+6\left(\frac{C_{2}}{2}\right)=C_{2}-3C_{2}+3C_{2}=C_{2}=0.
Portanto
C_{2}=0. \tag{4}

Passo 8

Com C_{2}=0 das equações anteriores segue:
C_{3}=-C_{2}=0,\qquad C_{4}=\frac{C_{2}}{2}=0.
E pela equação (1) C_{1}+C_{2}=0 obtemos C_{1}=0. Assim todas as constantes são zero.

Passo 9

Concluímos que a solução particular que satisfaz todas as condições iniciais tem todas as constantes nulas, logo é a solução trivial. Ou seja, para todos os x,
y(x)\equiv 0.

Resposta

y(x)=0

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