As perguntas implícitas são: encontrar a solução geral da equação e, a partir das condições iniciais, determinar a solução particular (aquela que satisfaz todas as condições).
Passo 2
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes como essa, usamos a técnica de tentar soluções do tipo y=e^{r x}. Substituindo y=e^{r x} na equação obtemos a equação característica em r. Faço isso agora: ao derivar y=e^{r x} temos cada derivada produzindo um fator r, então a equação característica é
r^{4}-3r^{3}+3r^{2}-r=0.
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio característico. Note que todos os termos têm fator comum r, então
r^{4}-3r^{3}+3r^{2}-r = r\,(r^{3}-3r^{2}+3r-1).
Observe que r^{3}-3r^{2}+3r-1 é a expansão de (r-1)^{3}. Portanto a fatoração completa é
r\,(r-1)^{3}=0.
Logo as raízes são r=0 (simples) e r=1 (de multiplicidade 3).
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes reais com multiplicidade, a forma geral da solução é construída assim:
Para uma raiz simples r=0 temos a solução exponencial associada e^{0x}=1, contribuindo com uma constante C_{1}.
Para uma raiz r=1 de multiplicidade 3 obtemos as soluções lineares independentes e^{x},\; x e^{x},\; x^{2} e^{x}. Em geral, para raiz r de multiplicidade m aparecem e^{r x}, x e^{r x}, \dots, x^{m-1} e^{r x}.
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora vamos calcular as derivadas necessárias (até a terceira) de y(x) para aplicar as condições iniciais. Defino u(x)=C_{2}+C_{3}x+C_{4}x^{2}, então y(x)=C_{1}+u(x)e^{x}. Usando a regra do produto, as derivadas ficam mais organizadas:
Primeira derivada:
u'(x)=C_{3}+2C_{4}x,
y'(x) = \big(u'(x)+u(x)\big)e^{x}.
Segunda derivada: seja v(x)=u'(x)+u(x). Então
v'(x)=u''(x)+u'(x)=2C_{4}+C_{3}+2C_{4}x,
y''(x)=\big(v'(x)+v(x)\big)e^{x}.
Terceira derivada: seja w(x)=v'(x)+v(x). Então
y^{(3)}(x)=\big(w'(x)+w(x)\big)e^{x}.
Vou agora escrever as expressões avaliadas em x=0, que é o que precisamos para as condições iniciais.
E pela equação (1) C_{1}+C_{2}=0 obtemos C_{1}=0. Assim todas as constantes são zero.
Passo 9
Concluímos que a solução particular que satisfaz todas as condições iniciais tem todas as constantes nulas, logo é a solução trivial. Ou seja, para todos os x,