É uma equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes.
Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as três condições iniciais dadas em x=0.
A partir daqui começamos a resolução.
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum tentar soluções da forma y=e^{rx}. Por quê? Porque derivar e^{rx} dá múltiplos de e^{rx}, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{rx} na equação obtemos a chamada equação característica. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Substituindo y=e^{rx} na equação obtemos (cada derivada multiplica por r):
r^{3}e^{rx}+2r^{2}e^{rx}-5r e^{rx}-6e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^{3}+2r^{2}-5r-6=0.
Agora precisamos resolver essa equação polinomial em r. Testando raízes racionais simples (divisores de \pm6): experimentamos r=2:
2^{3}+2\cdot2^{2}-5\cdot2-6=8+8-10-6=0,
logo r=2 é raiz. Fazemos a divisão do polinômio por (r-2). Usando divisão sintética com coeficientes 1,\;2,\;-5,\;-6 e o valor 2 obtemos quociente com coeficientes 1,\;4,\;3, isto é
r^{3}+2r^{2}-5r-6=(r-2)(r^{2}+4r+3).
O quadrático fatora:
r^{2}+4r+3=(r+1)(r+3),
portanto as raízes são
r=2,\quad r=-1,\quad r=-3,
três raízes reais distintas.
Passo 4
Quando a equação característica tem n raízes reais distintas r_1,\dots,r_n, a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes. Assim, a solução geral da nossa equação é
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Precisamos das derivadas até segunda ordem para aplicar as condições iniciais. Derivando termo a termo (lembrando que \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}):
y'(x)=2C_{1}e^{2x}-C_{2}e^{-x}-3C_{3}e^{-3x},
y''(x)=4C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x}+9C_{3}e^{-3x}.
Passo 6
Agora avaliamos em x=0 e impomos as condições iniciais. Como e^{0}=1, temos:
a) de y(0)=1:
C_{1}+C_{2}+C_{3}=1.
b) de y'(0)=0:
2C_{1}-C_{2}-3C_{3}=0.
c) de y''(0)=1:
4C_{1}+C_{2}+9C_{3}=1.
Temos assim o sistema linear de três equações em C_{1},C_{2},C_{3}.
Passo 7
Resolvendo o sistema passo a passo. Da primeira equação isolamos C_{2}\):
\[C_{2}=1-C_{1}-C_{3}.
Podemos, se quiser, verificar rapidamente em x=0: y(0)=4/15+5/6-1/10=1; a verificação das derivadas em 0 dá y'(0)=0 e y''(0)=1, confirmando que os coeficientes estão corretos.