Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
(y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-6 y=0, \quad y(0) =1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=1)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais abaixo e pede a solução y(x) que satisfaça tudo isso:
y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-5y^{\prime}-6y=0,
com condições iniciais
y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0,\quad y^{\prime\prime}(0)=1.
Lista das informações relevantes:
  • É uma equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes.
  • Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as três condições iniciais dadas em x=0.
    A partir daqui começamos a resolução.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum tentar soluções da forma y=e^{rx}. Por quê? Porque derivar e^{rx} dá múltiplos de e^{rx}, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{rx} na equação obtemos a chamada equação característica. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} na equação obtemos (cada derivada multiplica por r):
r^{3}e^{rx}+2r^{2}e^{rx}-5r e^{rx}-6e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^{3}+2r^{2}-5r-6=0.
Agora precisamos resolver essa equação polinomial em r. Testando raízes racionais simples (divisores de \pm6): experimentamos r=2:
2^{3}+2\cdot2^{2}-5\cdot2-6=8+8-10-6=0,
logo r=2 é raiz. Fazemos a divisão do polinômio por (r-2). Usando divisão sintética com coeficientes 1,\;2,\;-5,\;-6 e o valor 2 obtemos quociente com coeficientes 1,\;4,\;3, isto é
r^{3}+2r^{2}-5r-6=(r-2)(r^{2}+4r+3).
O quadrático fatora:
r^{2}+4r+3=(r+1)(r+3),
portanto as raízes são
r=2,\quad r=-1,\quad r=-3,
três raízes reais distintas.

Passo 4

Quando a equação característica tem n raízes reais distintas r_1,\dots,r_n, a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes. Assim, a solução geral da nossa equação é
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Precisamos das derivadas até segunda ordem para aplicar as condições iniciais. Derivando termo a termo (lembrando que \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}):
y'(x)=2C_{1}e^{2x}-C_{2}e^{-x}-3C_{3}e^{-3x},
y''(x)=4C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x}+9C_{3}e^{-3x}.

Passo 6

Agora avaliamos em x=0 e impomos as condições iniciais. Como e^{0}=1, temos:
a) de y(0)=1:
C_{1}+C_{2}+C_{3}=1.
b) de y'(0)=0:
2C_{1}-C_{2}-3C_{3}=0.
c) de y''(0)=1:
4C_{1}+C_{2}+9C_{3}=1.
Temos assim o sistema linear de três equações em C_{1},C_{2},C_{3}.

Passo 7

Resolvendo o sistema passo a passo. Da primeira equação isolamos C_{2}\): \[C_{2}=1-C_{1}-C_{3}.
Substituímos em (b) e (c).
Substituição em (b):
2C_{1}-(1-C_{1}-C_{3})-3C_{3}=0.
Desenvolvendo:
2C_{1}-1+C_{1}+C_{3}-3C_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 3C_{1}-1-2C_{3}=0,
ou
3C_{1}-2C_{3}=1. \tag{1}
Substituição em (c):
4C_{1}+(1-C_{1}-C_{3})+9C_{3}=1.
Desenvolvendo:
4C_{1}+1-C_{1}-C_{3}+9C_{3}=1 \quad\Rightarrow\quad 3C_{1}+8C_{3}+1=1,
logo
3C_{1}+8C_{3}=0. \tag{2}
Agora resolvemos o sistema linear formado por (1) e (2):
\begin{cases} 3C_{1}-2C_{3}=1,\\[4pt] 3C_{1}+8C_{3}=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3C_{1}+8C_{3})-(3C_{1}-2C_{3})=0-1 \quad\Rightarrow\quad 10C_{3}=-1,
portanto
C_{3}=-\dfrac{1}{10}.
Substituindo (C_{3}] em (2):
3C_{1}+8\left(-\dfrac{1}{10}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad 3C_{1}-\dfrac{8}{10}=0,
3C_{1}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\dfrac{4}{15}.
Finalmente, de C_{2}=1-C_{1}-C_{3}:
C_{2}=1-\dfrac{4}{15}-\left(-\dfrac{1}{10}\right)=1-\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{10}.
Calculando com denominador 30:
1=\dfrac{30}{30},\quad -\dfrac{4}{15}=-\dfrac{8}{30},\quad \dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{30},
logo
C_{2}=\dfrac{30-8+3}{30}=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}.]

Passo 8

Com as constantes encontradas, escrevemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=\dfrac{4}{15}e^{2x}+\dfrac{5}{6}e^{-x}-\dfrac{1}{10}e^{-3x}.
Podemos, se quiser, verificar rapidamente em x=0: y(0)=4/15+5/6-1/10=1; a verificação das derivadas em 0 y'(0)=0 e y''(0)=1, confirmando que os coeficientes estão corretos.

Resposta

y(x)=\dfrac{4}{15}e^{2x}+\dfrac{5}{6}e^{-x}-\dfrac{1}{10}e^{-3x}

Exercícios relacionados