Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
(y^{\prime \prime \prime}+12 y^{\prime \prime}+36 y^{\prime}=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=0)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. Pergunta-se qual é a função y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais. Dados e pedidos explicitamente:
y^{\prime\prime\prime}+12y^{\prime\prime}+36y^{\prime}=0,
condições iniciais:
y(0)=0,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=0.

Passo 2

Observação do tipo de equação e escolha do método: trata-se de uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Um método padrão e eficiente para esse caso é considerar a equação característica obtida substituindo y(x)=e^{rx}. Vou explicar esse método passo a passo: sempre que temos uma equação linear homogênea com derivadas constantes, procuramos soluções da forma e^{rx} porque derivadas de e^{rx} só multiplicam por r, transformando a ODE em um polinômio em r. Esse polinômio é a chamada equação característica.

Passo 3

Montagem da equação característica. Se tentarmos y=e^{rx}, então y' = r e^{rx}, y'' = r^2 e^{rx}, y''' = r^3 e^{rx}. Substituindo na equação diferencial obtemos o fator e^{rx} comum (não nulo), logo a equação característica é
r^3 + 12 r^2 + 36 r = 0.
Agora vamos resolver esse polinômio em r.

Passo 4

Fatoramos o polinômio para encontrar as raízes. Podemos fatorar r em evidência:
r(r^2 + 12 r + 36) = 0.
O termo quadrático r^2 + 12 r + 36 é um quadrado perfeito porque 12 = 2\cdot 6 e 36 = 6^2; explicitamente
r^2 + 12 r + 36 = (r+6)^2.
Portanto a fatoração completa é
r(r+6)^2 = 0.
As raízes são r=0 (simples) e r=-6 com multiplicidade 2.

Passo 5

Construção da solução geral a partir das raízes da equação característica. Regra importante (expliquei antes): para uma raiz simples r_0 temos a solução e^{r_0 x}; para uma raiz r_0 de multiplicidade m aparecem as soluções e^{r_0 x}, x e^{r_0 x}, x^2 e^{r_0 x},\dots,x^{m-1} e^{r_0 x}. Aplicando aqui: raiz r=0 dá a solução e^{0x}=1. Raiz r=-6 de multiplicidade 2 dá as soluções e^{-6x} e x e^{-6x}. Assim a solução geral da ODE é
y(x) = C_1 + C_2 e^{-6x} + C_3 x e^{-6x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Vamos calcular y'(x) e y''(x) explicitamente e de forma bem detalhada para aplicar as condições iniciais. Primeiro escrevo y novamente:
y(x) = C_1 + C_2 e^{-6x} + C_3 x e^{-6x}.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de C_1 é 0.
  • Derivada de C_2 e^{-6x} é C_2\cdot(-6)e^{-6x} = -6C_2 e^{-6x}.
  • Para C_3 x e^{-6x} uso a regra do produto: (x e^{-6x})' = 1\cdot e^{-6x} + x\cdot(-6)e^{-6x} = e^{-6x} -6x e^{-6x}. Multiplicando por C_3:
\frac{d}{dx}\big(C_3 x e^{-6x}\big) = C_3 e^{-6x} -6 C_3 x e^{-6x}.
Somando os termos:
y'(x) = (-6C_2 + C_3)e^{-6x} -6C_3 x e^{-6x}.

Passo 7

Agora calculo y''(x) derivando y'(x) passo a passo. Escrevo y'(x) em duas partes:
y'(x) = A e^{-6x} + B x e^{-6x},
onde A = -6C_2 + C_3 e B = -6C_3. (Fiz essa reescrita só para facilitar a diferenciação; tudo é equivalente.) Derivando:
  • Derivada de A e^{-6x} é A(-6)e^{-6x} = -6A e^{-6x}.
  • Derivada de B x e^{-6x} usando produto: B(e^{-6x} -6x e^{-6x}) = B e^{-6x} -6B x e^{-6x}.
    Somando:
y''(x) = (-6A + B)e^{-6x} -6B x e^{-6x}.
Agora substituo A e B de volta: A = -6C_2 + C_3 e B = -6C_3. Faço as contas com calma:
  • Primeiro calcule -6A + B:
-6A + B = -6(-6C_2 + C_3) + (-6C_3) = 36 C_2 -6 C_3 -6 C_3 = 36 C_2 -12 C_3.
  • E -6B = -6(-6C_3) = 36 C_3.
    Portanto
y''(x) = (36 C_2 -12 C_3)e^{-6x} + 36 C_3 x e^{-6x}.

Passo 8

Aplicação das condições iniciais. Avalio y,y',y'' em x=0. Como e^{0}=1 e x=0 anula termos com x, temos:
  • Da condição y(0)=0:
y(0) = C_1 + C_2 + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = 0.
  • Da condição y'(0)=0:
y'(0) = (-6C_2 + C_3) + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad -6C_2 + C_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_3 = 6C_2.
  • Da condição y''(0)=0:
y''(0) = (36 C_2 -12 C_3) + 0 = 0.
Substituo C_3 = 6C_2 nessa última equação:
36 C_2 -12(6C_2) = 36 C_2 -72 C_2 = -36 C_2 = 0.
Daí vem C_2 = 0.

Passo 9

Com C_2=0 temos, pelas igualdades anteriores, C_1 + C_2 = 0\Rightarrow C_1 = 0 e C_3 = 6 C_2 = 0. Assim todas as constantes são zero:
C_1 = C_2 = C_3 = 0.
Portanto a solução particular que satisfaz as três condições iniciais é a solução trivial.

Resposta

y(x)=0

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