Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
(y^{\prime \prime \prime}+12 y^{\prime \prime}+36 y^{\prime}=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=0)
(y^{\prime \prime \prime}+12 y^{\prime \prime}+36 y^{\prime}=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=0)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. Pergunta-se qual é a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais. Dados e pedidos explicitamente:
condições iniciais:
Passo 2
Observação do tipo de equação e escolha do método: trata-se de uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Um método padrão e eficiente para esse caso é considerar a equação característica obtida substituindo
. Vou explicar esse método passo a passo: sempre que temos uma equação linear homogênea com derivadas constantes, procuramos soluções da forma
porque derivadas de
só multiplicam por
, transformando a ODE em um polinômio em
. Esse polinômio é a chamada equação característica.
Passo 3
Montagem da equação característica. Se tentarmos
, então
,
,
. Substituindo na equação diferencial obtemos o fator
comum (não nulo), logo a equação característica é
Agora vamos resolver esse polinômio em
.
Passo 4
Fatoramos o polinômio para encontrar as raízes. Podemos fatorar
em evidência:
O termo quadrático
é um quadrado perfeito porque
e
; explicitamente
Portanto a fatoração completa é
As raízes são
(simples) e
com multiplicidade
.
Passo 5
Construção da solução geral a partir das raízes da equação característica. Regra importante (expliquei antes): para uma raiz simples
temos a solução
; para uma raiz
de multiplicidade
aparecem as soluções
. Aplicando aqui: raiz
dá a solução
. Raiz
de multiplicidade
dá as soluções
e
. Assim a solução geral da ODE é
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Vamos calcular
e
explicitamente e de forma bem detalhada para aplicar as condições iniciais. Primeiro escrevo
novamente:
Derivando termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Para
uso a regra do produto: . Multiplicando por :
Somando os termos:
Passo 7
Agora calculo
derivando
passo a passo. Escrevo
em duas partes:
onde
e
. (Fiz essa reescrita só para facilitar a diferenciação; tudo é equivalente.) Derivando:
- Derivada de
é . - Derivada de
usando produto: .
Somando:
Agora substituo
e
de volta:
e
. Faço as contas com calma:
- Primeiro calcule
:
- E
.
Portanto
Passo 8
Aplicação das condições iniciais. Avalio
em
. Como
e
anula termos com
, temos:
- Da condição
:
- Da condição
:
- Da condição
:
Substituo
nessa última equação:
Daí vem
.
Passo 9
Com
temos, pelas igualdades anteriores,
e
. Assim todas as constantes são zero:
Portanto a solução particular que satisfaz as três condições iniciais é a solução trivial.