Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dadas.
f^{\prime}(x)=12 x^{2}-6 x+1 ; f(t)=5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f que satisfaz a equação diferencial de 1.º ordem
f'(x)=12x^{2}-6x+1
e a condição inicial
f(t)=5.
O conteúdo é integração de uma derivada conhecida e uso da condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Vamos integrar f'(x) termo a termo para obter f(x). Temos
f(x)=\int\bigl(12x^{2}-6x+1\bigr)\,dx.
Separando cada termo:
\int 12x^{2}\,dx=12\cdot\frac{x^{3}}{3}=4x^{3},\quad \int (-6x)\,dx=-6\cdot\frac{x^{2}}{2}=-3x^{2},\quad \int 1\,dx=x.
Portanto, a primitiva geral é
f(x)=4x^{3}-3x^{2}+x+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Agora usamos a condição f(t)=5. Substituindo x=t na expressão geral:
f(t)=4t^{3}-3t^{2}+t+C=5.
Isolando C, obtemos
C=5-\bigl(4t^{3}-3t^{2}+t\bigr) =5-4t^{3}+3t^{2}-t.
Logo, a solução particular é
f(x)=4x^{3}-3x^{2}+x +\bigl(5-4t^{3}+3t^{2}-t\bigr).

Resposta

f(x)=4x^{3}-3x^{2}+x+5-4t^{3}+3t^{2}-t.

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