Resolva a equação diferencial sujeita às condições dadas.
f^{\prime \prime}(x)=6 x-4 😉
(f^{\prime}(2)=5 ; \quad f(2)=4)

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem
f''(x)=6x-4
com as condições iniciais f'(2)=5 e f(2)=4. Vamos resolver integrando duas vezes e depois ajustar as constantes usando as condições dadas.

Passo 2

Integramos f''(x) para obter f'(x). Como
\frac{d}{dx}f'(x)=6x-4,
temos
f'(x)=\int(6x-4)\,dx=3x^2-4x+C_1.
Agora usamos f'(2)=5 para encontrar C_1:
f'(2)=3\cdot2^2-4\cdot2+C_1=12-8+C_1=4+C_1\overset!=5
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C_1=1.

Passo 3

Agora integramos f'(x)=3x^2-4x+1 para achar f(x):
f(x)=\int(3x^2-4x+1)\,dx=x^3-2x^2+x+C_2.
Usamos f(2)=4 para determinar C_2:
f(2)=2^3-2\cdot2^2+2+C_2=8-8+2+C_2=2+C_2\overset!=4
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C_2=2.

Passo 4

Substituindo as constantes, a solução geral que satisfaz as condições iniciais é
f(x)=x^3-2x^2+x+2.

Resposta

f(x)=x^3-2x^2+x+2.

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