Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dadas.
\frac{d y}{d x}=4 x^{1 / 2};
y=21 \operatorname{se} x=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\displaystyle \frac{dy}{dx} = 4\,x^{1/2}
com a condição y=21 quando x=4. Este é um caso de equação diferencial ordinária de primeira ordem que pode ser resolvida por integração direta aplicando a regra de potência.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x. À esquerda temos
\int dy
e à direita
\int 4\,x^{1/2}\,dx.
Pela regra de potência \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, segue
\int 4\,x^{1/2}\,dx = 4\;\frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{8}{3}\,x^{3/2}.
Logo, a solução geral é
y = \frac{8}{3}\,x^{3/2} + C.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(4)=21. Como
4^{3/2} = 8,
temos
21 = \frac{8}{3}\cdot 8 + C = \frac{64}{3} + C
e, portanto,
C = 21 - \frac{64}{3} = \frac{63 - 64}{3} = -\frac{1}{3}.

Resposta

y = \frac{8}{3}\,x^{3/2} \;-\;\frac{1}{3}.

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