Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dadas.
f^{\prime}(x)=9 x^{2}+x-8 ; f(-1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a derivada de f como
f'(x) = 9x^{2} + x - 8
e a condição inicial f(-1)=1.
O método é integrar f'(x) para obter f(x) geral e depois usar f(-1)=1 para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos termo a termo:
\int 9x^{2}\,dx = 3x^{3},\quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int (-8)\,dx = -8x.
Logo a solução geral é
f(x) = 3x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 8x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição f(-1)=1. Calculando em x=-1:
f(-1) = 3(-1)^{3} + \frac{(-1)^{2}}{2} - 8(-1) + C = -3 + \frac{1}{2} + 8 + C = \frac{11}{2} + C.
Como f(-1)=1, temos
\frac{11}{2} + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 1 - \frac{11}{2} = -\frac{9}{2}.

Resposta

Substituindo C=-\tfrac{9}{2} na solução geral, obtemos
\boxed{f(x) = 3x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 8x - \frac{9}{2}}.

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