Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dadas.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 \cos x-5 \operatorname{sen} x ;
y=2+6 \pi e y^{\prime}=3 \operatorname{se} x=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2\cos x - 5\sin x
com as condições iniciais
y(\pi) = 2 + 6\pi, \qquad y'(\pi) = 3.
O conteúdo é resolução de um problema de valor inicial para uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos integrar duas vezes e usar as condições para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos a equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2\cos x - 5\sin x
em relação a x. Isso dá
y' = \int\bigl(2\cos x - 5\sin x\bigr)\,dx = 2\sin x + 5\cos x + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.

Passo 3

Agora integramos y' para obter y:
y = \int\bigl(2\sin x + 5\cos x + C_{1}\bigr)\,dx = -2\cos x + 5\sin x + C_{1}\,x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição y'(\pi)=3. Como
y'(\pi) = 2\sin\pi + 5\cos\pi + C_{1} = 0 + 5(-1) + C_{1} = -5 + C_{1},
temos
-5 + C_{1} = 3 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = 8.

Passo 5

Usamos a condição y(\pi)=2+6\pi. Substituindo x=\pi em
y(x) = -2\cos x + 5\sin x + 8x + C_{2},
obtemos
y(\pi) = -2\cos\pi + 5\sin\pi + 8\pi + C_{2} = -2(-1) + 0 + 8\pi + C_{2} = 2 + 8\pi + C_{2}.
Igualando a 2 + 6\pi, vem
2 + 8\pi + C_{2} = 2 + 6\pi \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = -2\pi.

Resposta

A solução que satisfaz as duas condições iniciais é
\boxed{y(x) = -2\cos x + 5\sin x + 8\,x - 2\pi.}

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