Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dadas.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=3 \operatorname{sen} x-4 \cos x ; y=7 \mathrm{e} y^{\prime}=2 \mathrm{se} x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' = 3\sin x - 4\cos x
com as condições iniciais y(0)=7 e y'(0)=2. Vamos resolver integrando duas vezes para encontrar y(x).

Passo 2

Integramos \,y'' para obter y'.
y' = \int\bigl(3\sin x - 4\cos x\bigr)\,dx = -3\cos x - 4\sin x + C_1.

Passo 3

Usamos y'(0)=2 para achar C_1.
y'(0) = -3\cos(0) - 4\sin(0) + C_1 = -3 + C_1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 5.

Passo 4

Agora integramos y' para obter y.
y = \int\bigl(-3\cos x - 4\sin x + 5\bigr)\,dx = -3\sin x + 4\cos x + 5x + C_2.

Passo 5

Aplicamos y(0)=7 para determinar C_2.
y(0) = -3\sin(0) + 4\cos(0) + 0 + C_2 = 4 + C_2 = 7 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 3.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2, a solução fica
y(x) = -3\sin x + 4\cos x + 5x + 3.

Resposta

y(x) = -3\sin x + 4\cos x + 5x + 3

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