Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
O que é pedido: encontrar a família de soluções
definidas para
. Informação dada:
não pode ser zero, isto é a solução é buscada em intervalos onde
ou onde
.
Passo 2
Vamos transformar a equação numa forma padrão de equação diferencial linear de primeira ordem. Dividindo toda a equação por
(válido porque
) obtemos
Aqui a equação está na forma padrão
onde
e
. Explicando:
é a derivada de
em relação a
,
é o coeficiente que multiplica
e
é o termo independentes de
. Para resolver equações desse tipo usamos o fator integrante.
Passo 3
Definição e cálculo do fator integrante: o fator integrante
é uma função que torna o lado esquerdo um derivada exata. Ele é dado por
No nosso caso
Podemos tomar
em um intervalo onde
e
em um intervalo onde
. Em prática é comum escolher
e lembrar que a solução vale para
; qualquer diferença de sinal fica absorvida na constante de integração.
Passo 4
Multiplicamos a equação pela
. Usando
temos
O lado esquerdo simplifica para
que é exatamente a derivada do produto
(porque
). Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. A integral de
é
, e a integral de
é
, mais uma constante de integração
. Assim,
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 6
Isolando
obtemos a solução geral:
com
e válida para
. Aqui a primeira parcela
é uma solução particular e
é a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 7
Verificação rápida (para sua confiança): calcule
a partir da solução encontrada. Temos
Multiplicando por
e somando
:
logo a solução satisfaz a equação original.
Passo 8
Resumo e dica para a prova: sempre que ver uma equação do tipo
divida por
(se
) e aplique o fator integrante
. Pratique esse procedimento com outras funções
para ficar rápido na hora da prova — lembre que o fator integrante transforma o lado esquerdo numa derivada total.