Resolva a equação diferencial:
x \frac{d y}{d x}+y=x^{2} \quad(x \neq 0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}+y=x^{2}\qquad(x\neq 0).
O que é pedido: encontrar a família de soluções y(x) definidas para x\neq 0. Informação dada: x não pode ser zero, isto é a solução é buscada em intervalos onde x>0 ou onde x<0.

Passo 2

Vamos transformar a equação numa forma padrão de equação diferencial linear de primeira ordem. Dividindo toda a equação por x (válido porque x\neq 0) obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y = x.
Aqui a equação está na forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=x. Explicando: \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x, P(x) é o coeficiente que multiplica y e Q(x) é o termo independentes de y. Para resolver equações desse tipo usamos o fator integrante.

Passo 3

Definição e cálculo do fator integrante: o fator integrante \mu(x) é uma função que torna o lado esquerdo um derivada exata. Ele é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
No nosso caso
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Podemos tomar \mu(x)=x em um intervalo onde x>0 e \mu(x)=-x em um intervalo onde x<0. Em prática é comum escolher \mu(x)=x e lembrar que a solução vale para x\neq0; qualquer diferença de sinal fica absorvida na constante de integração.

Passo 4

Multiplicamos a equação pela \mu(x). Usando \mu(x)=x temos
x\left(\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y\right)=x\cdot x.
O lado esquerdo simplifica para
x\frac{dy}{dx}+y,
que é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dx}(x y) (porque \dfrac{d}{dx}(x y)=x\dfrac{dy}{dx}+y). Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}(x y)=x^{2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. A integral de \dfrac{d}{dx}(x y) é x y, e a integral de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, mais uma constante de integração C. Assim,
x y=\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 6

Isolando y obtemos a solução geral:
y=\frac{x^{2}}{3}+\frac{C}{x},
com C\in\mathbb{R} e válida para x\neq 0. Aqui a primeira parcela \dfrac{x^{2}}{3} é uma solução particular e \dfrac{C}{x} é a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 7

Verificação rápida (para sua confiança): calcule \dfrac{dy}{dx} a partir da solução encontrada. Temos
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}x - \frac{C}{x^{2}}.
Multiplicando por x e somando y:
x\frac{dy}{dx}+y = x\left(\frac{2}{3}x - \frac{C}{x^{2}}\right) + \left(\frac{x^{2}}{3}+\frac{C}{x}\right) = \frac{2}{3}x^{2}-\frac{C}{x}+\frac{1}{3}x^{2}+\frac{C}{x}=x^{2},
logo a solução satisfaz a equação original.

Passo 8

Resumo e dica para a prova: sempre que ver uma equação do tipo x\,dy/dx+y=\text{(algo)} divida por x (se x\neq0) e aplique o fator integrante \mu=\exp(\int P). Pratique esse procedimento com outras funções P(x) para ficar rápido na hora da prova — lembre que o fator integrante transforma o lado esquerdo numa derivada total.

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}}{3}+\frac{C}{x},\qquad C\in\mathbb{R},\;x\neq 0.

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