Resolva a equação diferencial:
\frac{d y}{d x}+2 y=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+2y=x
O que está dado:
  • A incógnita é y, função de x.
  • A equação relaciona \dfrac{dy}{dx}, y e a função x.
    O que é pedido:
  • Encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Vamos escolher um método prático e direto: multiplicar a equação por um fator \emph{integrante} que transforme o lado esquerdo numa derivada de um produto. Esse método é eficiente para equações da forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x). (Mais adiante mostrarei como a solução aparece naturalmente como soma de uma solução homogênea e uma particular.)

Passo 3

Escrevemos a equação no formato padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
identificando
P(x)=2,\qquad Q(x)=x.
Aqui P(x) é a função que multiplica y e Q(x) é a fonte (lado direito). O objetivo do fator integrante \mu(x) é fazer com que
\mu(x)\left(\frac{dy}{dx}+P(x)y\right)=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).

Passo 4

O fator integrante é dado por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Explicando por que: usando a regra da derivada do produto,
\frac{d}{dx}(\mu y)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y=\mu\left(\frac{dy}{dx}+\frac{\mu'}{\mu}y\right).
Se escolhermos \mu tal que \dfrac{\mu'}{\mu}=P(x), então o termo entre parênteses será exatamente \dfrac{dy}{dx}+P(x)y. Como \mu'=\mu P tem solução \mu=e^{\int P}, por isso escolhemos \mu=e^{2x}.

Passo 5

Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{2x} obtém-se
e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y = x e^{2x}.
Pelo que vimos, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=x e^{2x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)\,dx=\int x e^{2x}\,dx.
A integral à esquerda é simplesmente e^{2x}y. Resta calcular \int x e^{2x}\,dx.

Passo 6

Para \int x e^{2x}\,dx usamos integração por partes. Lembrete rápido da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos u para ficar mais simples após derivar e dv para ser fácil de integrar.
Escolhemos
u = x \quad\Rightarrow\quad du = dx, \qquad dv = e^{2x}dx \quad\Rightarrow\quad v = \frac{1}{2}e^{2x},
pois \int e^{2x}dx = \tfrac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} + C = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C.

Passo 7

Voltando à igualdade integral,
e^{2x}y = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Dividindo por e^{2x} obtemos a solução geral:
y = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + C e^{-2x}.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida:
  • A parte y_h(x)=C e^{-2x} é a solução geral da equação homogênea associada \dfrac{dy}{dx}+2y=0.
  • A parte y_p(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4} é uma solução particular da equação não homogênea.
    Verificação rápida da parte particular: \dfrac{d}{dx}\big(\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{4}\big)=\tfrac{1}{2}. Então
\frac{dy_p}{dx}+2y_p=\frac{1}{2}+2\Big(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\Big)=\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}=x,
confere com o lado direito.

Resposta

y(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}+C e^{-2x}

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