Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que está dado:
- A incógnita é
, função de . - A equação relaciona
, e a função .
O que é pedido: - Encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação.
Passo 2
Vamos escolher um método prático e direto: multiplicar a equação por um fator \emph{integrante} que transforme o lado esquerdo numa derivada de um produto. Esse método é eficiente para equações da forma
. (Mais adiante mostrarei como a solução aparece naturalmente como soma de uma solução homogênea e uma particular.)
Passo 3
Escrevemos a equação no formato padrão
identificando
Aqui
é a função que multiplica
e
é a fonte (lado direito). O objetivo do fator integrante
é fazer com que
Passo 4
O fator integrante é dado por
Explicando por que: usando a regra da derivada do produto,
Se escolhermos
tal que
, então o termo entre parênteses será exatamente
. Como
tem solução
, por isso escolhemos
.
Passo 5
Multiplicando a equação original por
obtém-se
Pelo que vimos, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda é simplesmente
. Resta calcular
.
Passo 6
Para
usamos integração por partes. Lembrete rápido da fórmula de integração por partes:
onde escolhemos
para ficar mais simples após derivar e
para ser fácil de integrar.
Escolhemos
pois
.
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Voltando à igualdade integral,
onde
é constante arbitrária de integração. Dividindo por
obtemos a solução geral:
Passo 8
Interpretação e verificação rápida:
- A parte
é a solução geral da equação homogênea associada . - A parte
é uma solução particular da equação não homogênea.
Verificação rápida da parte particular:. Então
confere com o lado direito.