Resolva a equação e^{x}=\ln \left(x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação transcendental
e^x = \ln\bigl(x^2\bigr).
O conteúdo principal é estudar a função
f(x)=e^x - \ln\bigl(x^2\bigr)
e encontrar os pontos em que f(x)=0, respeitando o domínio de \ln(x^2).

Passo 2

Como \ln(x^2) exige x\neq0, dividimos o estudo em dois ramos: x>0 e x<0. Definimos
f(x)=e^x - \ln\bigl(x^2\bigr),
e vamos verificar onde f(x) se anula.

Passo 3

Para x>0:
\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
A derivada é
f'(x)=e^x - \frac{2}{x},
que se anula em x_0\approx0,8525. Avaliando
f(x_0)\approx2,66>0,
vemos que f nunca muda de sinal em (0,+\infty). Logo, não há raízes positivas.

Passo 4

Para x<0:
\lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em (-\infty,0). Como f é estritamente decrescente ali, há exatamente uma solução negativa.

Passo 5

Usamos o método de Newton para aproximar a raiz negativa. A iteração é
x_{n+1} = x_n - \frac{e^{x_n}-\ln(x_n^2)}{\,e^{x_n}-\tfrac{2}{x_n}\,},
com chute inicial x_0=-1. Após duas iterações chega-se a
x\approx -1,168.

Resposta

A equação e^x = \ln(x^2) tem uma única solução real, aproximadamente
x \approx -1,168.

Exercícios relacionados