Resolva a inequação \log _{1 / 2}\left(x^{2}-4\right)>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver
\log_{1/2}\bigl(x^{2}-4\bigr)>0.
Estamos trabalhando com logaritmos (domínio e monotonicidade) e precisamos usar o fato de que, para base b\in(0,1), a função \log_{b}(t) é decrescente.

Passo 2

Primeiro, garantimos que o argumento do logaritmo seja positivo:
x^{2}-4>0
Isso dá
x^{2}>4 \quad\Longrightarrow\quad x<-2\quad\text{ou}\quad x>2.

Passo 3

Como a base 1/2 está em (0,1), a função \log_{1/2}(t) é decrescente. Logo, a desigualdade
\log_{1/2}\bigl(x^{2}-4\bigr)>0
é equivalente a
0< x^{2}-4<1.

Passo 4

Resolvendo
0< x^{2}-4<1
temos já x^{2}-4>0 (que é o domínio) e também
x^{2}-4<1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}<5 \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{5}<x<\sqrt{5}.

Passo 5

Agora intersectamos as duas condições:
(x<-2\\ \text{ou}\\ x>2) \quad\text{e}\quad (-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}).
A interseção é
x\in(-\sqrt{5},-2)\;\cup\;(2,\sqrt{5}).

Resposta

x\in(-\sqrt{5},-2)\cup(2,\sqrt{5}).

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