Resolva a equação:
;
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Este é um caso de ODE de segunda ordem sem termo em
. Vamos transformá-la numa equação de Bessel, usando a substituição apropriada e conhecendo que a equação de Bessel de ordem
é
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
e definimos
Precisamos de
e
em termos de derivadas de
em
. Como
, temos
Passo 3
Substituindo em
, lembrando que
e
, dá
Multiplicando tudo por
, fica
Passo 4
Para reconhecer a forma de Bessel, fazemos
. Então
e a equação
vira, após substituir e simplificar,
que é exatamente a equação de Bessel de ordem
.
Passo 5
A solução geral de
é
onde
e
são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, ordem 1. Voltando a
e depois a
, obtemos
Resposta
A solução geral é
ou equivalentemente
com
(ou
) constantes arbitrárias.