Resolva a equação:
x y^{\prime \prime}+y=0, x>0;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x\,y'' + y = 0,\quad x>0.
Este é um caso de ODE de segunda ordem sem termo em y'. Vamos transformá-la numa equação de Bessel, usando a substituição apropriada e conhecendo que a equação de Bessel de ordem \nu é
t^2 v'' + t\,v' + (t^2-\nu^2)\,v = 0.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = 2\sqrt{x},
e definimos
y(x) = u\bigl(t(x)\bigr).
Precisamos de y' e y'' em termos de derivadas de u em t. Como t' = \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{2}{t}, temos
y' = u'(t)\,\frac{dt}{dx} = u'(t)\,\frac{2}{t},
y'' = \frac{d}{dx}\Bigl(u'(t)\,\frac{2}{t}\Bigr) = u''(t)\,\Bigl(\frac{2}{t}\Bigr)^2 \;-\; u'(t)\,\Bigl(\frac{2}{t^2}\cdot\frac{2}{t}\Bigr) = \frac{4}{t^2}\,u''(t) \;-\;\frac{4}{t^3}\,u'(t).

Passo 3

Substituindo em x\,y''+y=0, lembrando que x = t^2/4 e y=u, dá
\frac{t^2}{4}\Bigl(\frac{4}{t^2}u'' - \frac{4}{t^3}u'\Bigr) + u = 0 \quad\Longrightarrow\quad u'' - \frac{1}{t}\,u' + u = 0.
Multiplicando tudo por t, fica
t\,u'' - u' + t\,u = 0.

Passo 4

Para reconhecer a forma de Bessel, fazemos u(t)=t\,v(t). Então
u' = v + t\,v',\quad u'' = 2v' + t\,v'',
e a equação
t\,u'' - u' + t\,u = 0
vira, após substituir e simplificar,
t^2 v'' + t v' + (t^2 - 1)\,v = 0,
que é exatamente a equação de Bessel de ordem \nu=1.

Passo 5

A solução geral de
t^2 v'' + t v' + (t^2 - 1)\,v = 0
é
v(t) = C_1 J_{1}(t) + C_2 Y_{1}(t),
onde J_{1} e Y_{1}$ são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, ordem 1. Voltando a u = t\,v e depois a y, obtemos
y(x) = u\bigl(2\sqrt{x}\bigr) = 2\sqrt{x}\,\bigl[C_1 J_{1}(2\sqrt{x}) + C_2 Y_{1}(2\sqrt{x})\bigr].

Resposta

A solução geral é
y(x) = 2\sqrt{x}\,\bigl[C_1 J_{1}(2\sqrt{x}) + C_2 Y_{1}(2\sqrt{x})\bigr],
ou equivalentemente
y(x) = \sqrt{x}\,\bigl[D_1 J_{1}(2\sqrt{x}) + D_2 Y_{1}(2\sqrt{x})\bigr],
com C_1,C_2 (ou D_1,D_2) constantes arbitrárias.

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