Usar o Teorema da Divergência de Gauss para calcular a integral de superfície.
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, \quad sendo \vec{F}(x, y, z)=(2 x, 2 y, 0) e S a superfície do exercício 1, ou seja, a superfície do paralelepípedo retângulo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=2 e z=3, exceto a face superior.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS
sendo \vec F(x,y,z)=(2x,2y,0) e S a superfície do paralelepípedo definido por
0\le x\le1,\quad 0\le y\le2,\quad 0\le z\le3
exceto a face superior z=3. Vamos usar o Teorema da Divergência de Gauss, que relaciona o fluxo pela superfície fechada ao integral triplo da divergência no volume.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial(2x)}{\partial x}+\frac{\partial(2y)}{\partial y}+\frac{\partial(0)}{\partial z} =2+2+0=4.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pela superfície fechada \partial V é
\iint_{\partial V}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec F)\,dV =4\iiint_{V}dV =4\cdot\bigl(1\cdot2\cdot3\bigr) =24.
Como S exclui a face superior, o fluxo em S vale o fluxo pela superfície fechada menos o fluxo pela face z=3.

Passo 4

Na face superior z=3, o vetor normal externo é \vec n=(0,0,1) e \vec F=(2x,2y,0), logo
\vec F\cdot\vec n=(2x,2y,0)\cdot(0,0,1)=0.
Portanto
\iint_{z=3}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{[0,1]\times[0,2]}0\,dx\,dy=0.

Passo 5

O fluxo pela superfície S (todas as faces menos a superior) é
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{\partial V}\vec F\cdot\vec n\,dS -\iint_{z=3}\vec F\cdot\vec n\,dS =24-0=24.

Resposta

24

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