Resolva as equações abaixo em \mathbb{R} :
|2 x|=3

Passo 1

O enunciado pede resolver em \mathbb{R} a equação
|2x|=3.
Informações dadas:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • Tem-se o valor do módulo (valor absoluto) de uma expressão linear em x, igual a 3.
    O objetivo é encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

O que significa o símbolo de módulo (valor absoluto)? Vou explicar devagarinho.
Para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] - a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Em palavras: o módulo de a\] é sempre um número não negativo; ele retorna \(a quando a já é não negativo, ou retorna o oposto -a quando a é negativo (assim o resultado fica positivo). Exemplo simples: |5|=5 e |-5|=5.]

Passo 3

Aplicando essa definição a |2x|=3: como o módulo de algo é 3 (um número positivo), o argumento 2x pode ser 3 ou -3. Portanto devemos resolver os dois casos
2x=3
ou
2x=-3.

Passo 4

Resolver cada equação linear é direto. Para isolar x dividimos ambos os lados por 2. Como 2>0, a divisão não inverte sinal nem causa problema.
Do primeiro caso:
2x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{2}.
Do segundo caso:
2x=-3 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{3}{2}.

Passo 5

Sempre é bom checar as soluções substituindo na equação original.
Para x=\dfrac{3}{2}:
|2x| = \left|2\cdot\frac{3}{2}\right| = |3| = 3,
ok.
Para x=-\dfrac{3}{2}:
|2x| = \left|2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\right| = |-3| = 3,
também ok. Ambas satisfazem a equação.

Passo 6

Dica prática que costuma aparecer em prova: use a propriedade |kx|=|k|\,|x|. Aqui |2x|=2|x|, então a equação vira 2|x|=3, daí |x|=\dfrac{3}{2} e novamente x=\pm\dfrac{3}{2}. Esse método é útil quando o coeficiente é positivo; se fosse negativo, sempre trabalhar com |k| garante segurança.

Resposta

x=\dfrac{3}{2}
x=-\dfrac{3}{2}

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