A vazão volumétrica de petróleo, em barris por hora, através de um oleoduto é modelada pela funçãc f(t) abaixo:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 500, & t \in[0,5] \\\\ 100 t, & t \in[5,10] \\\\ 1000, & t \in[10,15] \\\\ 2500-100 t, & t \in[15,20] \\\\ 500 & t \in[20,24] \end{array}\right.
Desenhe o gráfico de f e calcule uma função F(t) que expresse o total escoado pelo oleoduto, escrevendc em uma tabela os subtotais em cada um dos intervalos acima, bem como as integrais definidas associadas a esses subtotais. Finalmente, desenhe o gráfico de F(t) no mesmo período de 24 horas, indicando onde o seu comportamento é constante, onde é linear e onde é quadrático.

Passo 1

O enunciado fornece a vazão volumétrica f(t) (em barris por hora) definida por partes no intervalo de t\in[0,24] horas:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 500, & t \in[0,5] \\\\ 100 t, & t \in[5,10] \\\\ 1000, & t \in[10,15] \\\\ 2500-100 t, & t \in[15,20] \\\\ 500 & t \in[20,24] \end{array}\right.
O que se pede:
  • Desenhar (esboçar) o gráfico de f no período de 24 horas.
  • Calcular uma função F(t) que exprima o total escoado até o instante t (ou seja, a função acumulada).
  • Escrever em uma tabela os subtotais escoados em cada um dos cinco subintervalos e as integrais definidas associadas a esses subtotais.
  • Desenhar (esboçar) o gráfico de F(t) no mesmo período, indicando onde F é constante, linear ou quadrática.
As informações numéricas relevantes que temos são os trechos da função f(t) e os comprimentos dos intervalos:
  • Intervalos: [0,5], [5,10], [10,15], [15,20], [20,24].
  • Valores/fórmulas de f(t) em cada intervalo conforme dado acima.

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida e calma): a função acumulada F(t) que dá o total escoado até o tempo t é definida por
F(t)=\int_{0}^{t} f(s)\,ds.
Isto significa que F(t) é a área sob o gráfico de f entre s=0 e s=t. Quando f é constante em um intervalo, a área é simplesmente base vezes altura (produto). Quando f é uma função linear em t (por exemplo 100t ou 2500-100t), integrarmos essa expressão nos dá um polinômio de grau a mais (ou seja, integrar uma linear dá quadrática). Por isso vamos obter para F(t) trechos lineares (onde f é constante) e trechos quadráticos (onde f é linear).
Vou calcular, passo a passo, as integrais em cada subintervalo para obter os subtotais e depois montar F(t) peça a peça.

Passo 3

Calcular os subtotais (áreas) em cada subintervalo como integrais definidas.
  1. Subtotal no intervalo [0,5], onde f(t)=500:
\text{Subtotal}_1=\int_{0}^{5} 500\,dt = 500\cdot(5-0)=500\cdot5=2500.
  1. Subtotal no intervalo [5,10], onde f(t)=100 t:
\text{Subtotal}_2=\int_{5}^{10} 100 t\,dt = 100\cdot\frac{t^{2}}{2}\Big|_{5}^{10}=50\big(t^{2}\big)\Big|_{5}^{10}=50(10^{2}-5^{2})=50(100-25)=50\cdot75=3750.
  1. Subtotal no intervalo [10,15], onde f(t)=1000:
\text{Subtotal}_3=\int_{10}^{15} 1000\,dt = 1000\cdot(15-10)=1000\cdot5=5000.
  1. Subtotal no intervalo [15,20], onde f(t)=2500-100 t:
\text{Subtotal}_4=\int_{15}^{20} (2500-100 t)\,dt
Calcule a primitiva: \int (2500-100 t)\,dt = 2500 t -50 t^{2}. Avaliando:
\text{Subtotal}_4 = \big(2500 t -50 t^{2}\big)\Big|_{15}^{20} = \big(2500\cdot20 -50\cdot20^{2}\big) - \big(2500\cdot15 -50\cdot15^{2}\big).
Agora os valores:
2500\cdot20 -50\cdot400 =50000-20000=30000,
2500\cdot15 -50\cdot225 =37500-11250=26250,
portanto
\text{Subtotal}_4 =30000-26250=3750.
  1. Subtotal no intervalo [20,24], onde f(t)=500:
\text{Subtotal}_5=\int_{20}^{24} 500\,dt = 500\cdot(24-20)=500\cdot4=2000.
Verificação do total em 24 horas (soma dos subtotais):
2500+3750+5000+3750+2000 = 17000.
Ou seja, ao final de 24 horas foram escoados 17000 barris.

Passo 4

Tabela dos subtotais e das integrais correspondentes (apresentado de forma bem direta para consulta rápida):
  • Intervalo [0,5]: \int_{0}^{5}500\,dt=2500.
  • Intervalo [5,10]: \int_{5}^{10}100t\,dt=3750.
  • Intervalo [10,15]: \int_{10}^{15}1000\,dt=5000.
  • Intervalo [15,20]: \int_{15}^{20}(2500-100t)\,dt=3750.
  • Intervalo [20,24]: \int_{20}^{24}500\,dt=2000.
Soma (total em 24 h):
\sum \text{Subtotais}=2500+3750+5000+3750+2000=17000.

Passo 5

Montar a função acumulada F(t)=\int_{0}^{t} f(s)\,ds peça a peça. Vou calcular F(t) em cada trecho usando os subtotais já obtidos para garantir continuidade.
  1. Para t\in[0,5]:
F(t)=\int_{0}^{t}500\,ds = 500 t.
(Linear em t.)
  1. Para t\in[5,10]:
F(t)=\int_{0}^{5}500\,ds + \int_{5}^{t}100 s\,ds = 2500 + 50\big(t^{2}-5^{2}\big).
Simplificando:
F(t)=2500 + 50(t^{2}-25)=50 t^{2} +1250.
(Quadrática em t.)
  1. Para t\in[10,15]:
F(t)=\int_{0}^{10}f(s)\,ds + \int_{10}^{t}1000\,ds.
Sabemos \int_{0}^{10}f=2500+3750=6250. Então
F(t)=6250 + 1000(t-10)=1000 t -3750.
(Linear em t.)
  1. Para t\in[15,20]:
F(t)=\int_{0}^{15}f(s)\,ds + \int_{15}^{t} (2500-100 s)\,ds.
Sabemos \int_{0}^{15}f=6250+5000=11250. A primitiva de 2500-100 s é 2500 s -50 s^{2}. Então
F(t)=11250 + \big(2500 t -50 t^{2}\big) - \big(2500\cdot15 -50\cdot15^{2}\big).
Calculando o termo constante \big(2500\cdot15 -50\cdot15^{2}\big)=26250. Assim
F(t)=11250 + (2500 t -50 t^{2}) -26250 = -50 t^{2} +2500 t -15000.
(Quadrática em t.)
  1. Para t\in[20,24]:
F(t)=\int_{0}^{20}f(s)\,ds + \int_{20}^{t}500\,ds.
Sabemos \int_{0}^{20}f=11250+3750=15000. Então
F(t)=15000 + 500(t-20)=500 t +5000.
(Linear em t.)
Resumindo, a forma final de F(t) é:
F(t)=\left\{\begin{array}{ll} 500 t, & t\in[0,5],\\[4pt] 50 t^{2} +1250, & t\in[5,10],\\[4pt] 1000 t -3750, & t\in[10,15],\\[4pt] -50 t^{2} +2500 t -15000, & t\in[15,20],\\[4pt] 500 t +5000, & t\in[20,24]. \end{array}\right.]

Passo 6

Pontos-chave (valores de F nos nós para desenhar o gráfico):
F(0)=0,
F(5)=2500,
F(10)=6250,
F(15)=11250,
F(20)=15000,
F(24)=17000.
Esses pontos são úteis para traçar F corretamente.
Classificação do comportamento de F por intervalo:
  • Onde F é constante: nenhum intervalo — como f(t)=F'(t) e f(t) nunca é zero nos trechos dados, F não é constante em nenhum trecho.
  • Onde F é linear: em trechos onde f é constante. Isso ocorre em t\in[0,5], t\in[10,15] e t\in[20,24]. (Nesses trechos F tem forma a t + b.)
  • Onde F é quadrática: em trechos onde f é linear em t. Isso ocorre em t\in[5,10] (pois f(t)=100t) e em t\in[15,20] (pois f(t)=2500-100t). (Nesses trechos F tem forma A t^{2}+B t +C.)

Passo 7

Instruções rápidas para desenhar o gráfico de f (esboço):
  • Trace o eixo horizontal t de 0 a 24 e eixo vertical com vazão em barris/hora.
  • No intervalo [0,5] desenhe uma reta horizontal em f=500.
  • No ponto t=5 a vazão vale 500 (confira: 100\cdot5=500), a partir daí até t=10 desenhe uma reta crescente que vai de 500 (em t=5) até 1000 (em t=10) porque f(t)=100t.
  • De t=10 a t=15 desenhe uma reta horizontal em f=1000.
  • De t=15 a t=20 desenhe uma reta decrescente que vai de 1000 (em t=15) até 500 (em t=20), pois f(t)=2500-100t.
  • De t=20 a t=24 desenhe novamente uma reta horizontal em f=500.
  • Marque os pontos de mudança em t=5,10,15,20.

Passo 8

Instruções rápidas para desenhar o gráfico de F (esboço):
  • Plote os pontos (0,0), (5,2500), (10,6250), (15,11250), (20,15000), (24,17000).
  • Entre (0,0) e (5,2500) ligue com uma reta ( F(t)=500t ).
  • Entre (5,2500) e (10,6250) desenhe a curva quadrática F(t)=50t^{2}+1250 (curva para cima).
  • Entre (10,6250) e (15,11250) ligue com reta ( F(t)=1000t-3750 ).
  • Entre (15,11250) e (20,15000) desenhe a curva quadrática F(t)=-50t^{2}+2500t-15000 (curva para baixo).
  • Entre (20,15000) e (24,17000) ligue com reta ( F(t)=500t+5000 ).
  • Indique claramente nos trechos quadráticos que a curvatura existe e nos trechos lineares que são segmentos retos.

Passo 9

Pequeno reforço e incentivo: a ideia central é que integrar f acumula área e que pontos de mudança de expressão em f geram mudanças de comportamento em F (linear quando f constante, quadrático quando f linear). Se precisar, eu desenho com coordenadas mais finas (por exemplo pontos intermédios) ou monto uma figura pronta para impressão — me diga se quer que eu gere uma imagem do esboço.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{5}500\,dt=2500
\displaystyle \int_{5}^{10}100t\,dt=3750
\displaystyle \int_{10}^{15}1000\,dt=5000
\displaystyle \int_{15}^{20}(2500-100t)\,dt=3750
\displaystyle \int_{20}^{24}500\,dt=2000
\displaystyle F(t)=\int_{0}^{t}f(s)\,ds=\left\{\begin{array}{ll} 500 t, & t\in[0,5],\\[4pt] 50 t^{2} +1250, & t\in[5,10],\\[4pt] 1000 t -3750, & t\in[10,15],\\[4pt] -50 t^{2} +2500 t -15000, & t\in[15,20],\\[4pt] 500 t +5000, & t\in[20,24]. \end{array}\right.
Pontos importantes: F(0)=0, F(5)=2500, F(10)=6250, F(15)=11250, F(20)=15000, F(24)=17000.
Comportamento de F: não é constante em nenhum trecho; é linear em [0,5], [10,15] e [20,24]; é quadrática em [5,10] e [15,20].]

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