A vazão volumétrica de petróleo, em barris por hora, através de um oleoduto é modelada pela funçãc f(t) abaixo:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 500, & t \in[0,5] \\\\ 100 t, & t \in[5,10] \\\\ 1000, & t \in[10,15] \\\\ 2500-100 t, & t \in[15,20] \\\\ 500 & t \in[20,24] \end{array}\right.
Desenhe o gráfico de f e calcule uma função F(t) que expresse o total escoado pelo oleoduto, escrevendc em uma tabela os subtotais em cada um dos intervalos acima, bem como as integrais definidas associadas a esses subtotais. Finalmente, desenhe o gráfico de F(t) no mesmo período de 24 horas, indicando onde o seu comportamento é constante, onde é linear e onde é quadrático.
Passo 1
O enunciado fornece a vazão volumétrica f(t) (em barris por hora) definida por partes no intervalo de t\in[0,24] horas:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 500, & t \in[0,5] \\\\ 100 t, & t \in[5,10] \\\\ 1000, & t \in[10,15] \\\\ 2500-100 t, & t \in[15,20] \\\\ 500 & t \in[20,24] \end{array}\right.
O que se pede:
Desenhar (esboçar) o gráfico de f no período de 24 horas.
Calcular uma função F(t) que exprima o total escoado até o instante t (ou seja, a função acumulada).
Escrever em uma tabela os subtotais escoados em cada um dos cinco subintervalos e as integrais definidas associadas a esses subtotais.
Desenhar (esboçar) o gráfico de F(t) no mesmo período, indicando onde F é constante, linear ou quadrática.
As informações numéricas relevantes que temos são os trechos da função f(t) e os comprimentos dos intervalos:
Valores/fórmulas de f(t) em cada intervalo conforme dado acima.
Passo 2
Conceito que vamos usar (aula rápida e calma): a função acumulada F(t) que dá o total escoado até o tempo t é definida por
F(t)=\int_{0}^{t} f(s)\,ds.
Isto significa que F(t) é a área sob o gráfico de f entre s=0 e s=t. Quando f é constante em um intervalo, a área é simplesmente base vezes altura (produto). Quando f é uma função linear em t (por exemplo 100t ou 2500-100t), integrarmos essa expressão nos dá um polinômio de grau a mais (ou seja, integrar uma linear dá quadrática). Por isso vamos obter para F(t) trechos lineares (onde f é constante) e trechos quadráticos (onde f é linear).
Vou calcular, passo a passo, as integrais em cada subintervalo para obter os subtotais e depois montar F(t) peça a peça.
Passo 3
Calcular os subtotais (áreas) em cada subintervalo como integrais definidas.
Montar a função acumulada F(t)=\int_{0}^{t} f(s)\,ds peça a peça. Vou calcular F(t) em cada trecho usando os subtotais já obtidos para garantir continuidade.
F(t)=\left\{\begin{array}{ll} 500 t, & t\in[0,5],\\[4pt] 50 t^{2} +1250, & t\in[5,10],\\[4pt] 1000 t -3750, & t\in[10,15],\\[4pt] -50 t^{2} +2500 t -15000, & t\in[15,20],\\[4pt] 500 t +5000, & t\in[20,24]. \end{array}\right.]
Passo 6
Pontos-chave (valores de F nos nós para desenhar o gráfico):
F(0)=0,
F(5)=2500,
F(10)=6250,
F(15)=11250,
F(20)=15000,
F(24)=17000.
Esses pontos são úteis para traçar F corretamente.
Classificação do comportamento de F por intervalo:
Onde F é constante: nenhum intervalo — como f(t)=F'(t) e f(t) nunca é zero nos trechos dados, F não é constante em nenhum trecho.
Onde F é linear: em trechos onde f é constante. Isso ocorre em t\in[0,5], t\in[10,15] e t\in[20,24]. (Nesses trechos F tem forma a t + b.)
Onde F é quadrática: em trechos onde f é linear em t. Isso ocorre em t\in[5,10] (pois f(t)=100t) e em t\in[15,20] (pois f(t)=2500-100t). (Nesses trechos F tem forma A t^{2}+B t +C.)
Passo 7
Instruções rápidas para desenhar o gráfico de f (esboço):
Trace o eixo horizontal t de 0 a 24 e eixo vertical com vazão em barris/hora.
No intervalo [0,5] desenhe uma reta horizontal em f=500.
No ponto t=5 a vazão vale 500 (confira: 100\cdot5=500), a partir daí até t=10 desenhe uma reta crescente que vai de 500 (em t=5) até 1000 (em t=10) porque f(t)=100t.
De t=10 a t=15 desenhe uma reta horizontal em f=1000.
De t=15 a t=20 desenhe uma reta decrescente que vai de 1000 (em t=15) até 500 (em t=20), pois f(t)=2500-100t.
De t=20 a t=24 desenhe novamente uma reta horizontal em f=500.
Marque os pontos de mudança em t=5,10,15,20.
Passo 8
Instruções rápidas para desenhar o gráfico de F (esboço):
Plote os pontos (0,0), (5,2500), (10,6250), (15,11250), (20,15000), (24,17000).
Entre (0,0) e (5,2500) ligue com uma reta ( F(t)=500t ).
Entre (5,2500) e (10,6250) desenhe a curva quadrática F(t)=50t^{2}+1250 (curva para cima).
Entre (10,6250) e (15,11250) ligue com reta ( F(t)=1000t-3750 ).
Entre (15,11250) e (20,15000) desenhe a curva quadrática F(t)=-50t^{2}+2500t-15000 (curva para baixo).
Entre (20,15000) e (24,17000) ligue com reta ( F(t)=500t+5000 ).
Indique claramente nos trechos quadráticos que a curvatura existe e nos trechos lineares que são segmentos retos.
Passo 9
Pequeno reforço e incentivo: a ideia central é que integrar f acumula área e que pontos de mudança de expressão em f geram mudanças de comportamento em F (linear quando f constante, quadrático quando f linear). Se precisar, eu desenho com coordenadas mais finas (por exemplo pontos intermédios) ou monto uma figura pronta para impressão — me diga se quer que eu gere uma imagem do esboço.