Resolva as equações abaixo.
w^{2}=3(w-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
w^{2}=3(w-1).
O que se quer é encontrar todos os valores de w que satisfazem essa igualdade. Não foi especificado o conjunto (reais ou complexos), então vamos resolver no conjunto dos números complexos — assim cobrir tudo.

Passo 2

O primeiro passo algébrico é escrever a equação na forma padrão de um polinômio quadrático igual a zero. Subtraindo 3(w-1) dos dois lados:
w^{2}-3(w-1)=0.
Agora desenvolvendo o parêntese:
w^{2}-3w+3=0.

Passo 3

Uma equação quadrática genérica tem a forma
a x^{2}+b x+c=0,
onde a, b e c são números conhecidos e x é a incógnita. Para a nossa equação identificamos:
a=1,\qquad b=-3,\qquad c=3.

Passo 4

Para resolver uma quadrática usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui o termo dentro da raiz,
\Delta=b^{2}-4ac,
é chamado de discriminante e determina a natureza das raízes (se são reais distintas, reais iguais ou complexas conjugadas).

Passo 5

Calcular o discriminante para os nossos coeficientes:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot3 = 9-12 = -3.
Como \Delta<0, isto indica que as raízes não são reais — serão um par de complexos conjugados.

Passo 6

Aplicando a fórmula quadrática:
w=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{-3}}{2\cdot1}=\frac{3\pm\sqrt{-3}}{2}.
Usando \sqrt{-3}=i\sqrt{3} (onde i^{2}=-1), obtemos
w=\frac{3\pm i\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\,i.

Passo 7

Breve verificação conceitual: como os coeficientes da equação são reais, é esperado que, se aparecer uma raiz complexa, a outra seja seu conjugado — e é exatamente o que encontramos: \dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i e \dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i. Se tivesse sido pedido apenas soluções reais, a resposta seria “não há soluções reais”.

Resposta

\displaystyle w=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,i
\displaystyle w=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i

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