Resolva as seguintes inequações, com respostas na notação de conjunto e de intervalo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
e apresentar a solução em notação de conjunto e em notação de intervalo. As informações dadas são:
- A expressão a ser analisada é
. - A desigualdade é do tipo ``menor ou igual a zero’’:
.
Passo 2
Identificar os fatores e seus zeros (raízes) potenciais:
- O primeiro fator é
. Resolver dá a raiz
- O segundo fator é
. Para saber se esse fator muda de sinal, calcule o discriminante da quadrática com , , :
Como
, a quadrática não tem raízes reais.
Passo 3
Interpretar o sinal da quadrática
:
- Uma quadrática com
e é sempre positiva para todo . - Confirmação rápida: tomar
dá , consistente com ela ser sempre positiva.
Logo,para todo .
Passo 4
Usar o fato de que o segundo fator é sempre positivo para simplificar a inequação:
- A inequação original é
. - Como
sempre, podemos dividir os dois lados da desigualdade por esse número positivo sem inverter o sinal:
- Resolver
:
- Verificar a igualdade em
: nesse ponto e , então o produto vale , que satisfaz . Para o fator é negativo e o produto é negativo (satisfeitos). Para o fator é positivo e o produto é positivo (não satisfaz).
Passo 5
Apresentar a solução final nas duas notações pedidas.