Resolva as seguintes inequações, com respostas na notação de conjunto e de intervalo:
(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação (2x+1)\left(x^{2}+x+1\right)\leq 0 e apresentar a solução em notação de conjunto e em notação de intervalo. As informações dadas são:
  • A expressão a ser analisada é (2x+1)\left(x^{2}+x+1\right).
  • A desigualdade é do tipo ``menor ou igual a zero’’: \leq 0.

Passo 2

Identificar os fatores e seus zeros (raízes) potenciais:
  • O primeiro fator é 2x+1. Resolver 2x+1=0 dá a raiz
x=-\tfrac{1}{2}.
  • O segundo fator é x^{2}+x+1. Para saber se esse fator muda de sinal, calcule o discriminante \Delta da quadrática ax^{2}+bx+c com a=1, b=1, c=1:
\Delta = b^{2}-4ac = 1-4\cdot1\cdot1 = -3.
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais.

Passo 3

Interpretar o sinal da quadrática x^{2}+x+1:
  • Uma quadrática com a=1>0 e \Delta<0 é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R}.
  • Confirmação rápida: tomar x=0 0^{2}+0+1=1>0, consistente com ela ser sempre positiva.
    Logo, x^{2}+x+1>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Usar o fato de que o segundo fator é sempre positivo para simplificar a inequação:
  • A inequação original é (2x+1)\left(x^{2}+x+1\right)\leq 0.
  • Como x^{2}+x+1>0 sempre, podemos dividir os dois lados da desigualdade por esse número positivo sem inverter o sinal:
2x+1 \leq 0.
  • Resolver 2x+1\leq 0:
2x \leq -1 \quad\Rightarrow\quad x \leq -\tfrac{1}{2}.
  • Verificar a igualdade em x=-\tfrac{1}{2}: nesse ponto 2x+1=0 e x^{2}+x+1=\tfrac{3}{4}>0, então o produto vale 0, que satisfaz \leq 0. Para x<-\tfrac{1}{2} o fator 2x+1 é negativo e o produto é negativo (satisfeitos). Para x>-\tfrac{1}{2} o fator 2x+1 é positivo e o produto é positivo (não satisfaz).

Passo 5

Apresentar a solução final nas duas notações pedidas.

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\leq -\tfrac{1}{2}\,\}
(-\infty,-\tfrac{1}{2}]

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