Resolva as equações:
b) 5^{2 x-3}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
5^{2x-3}=1
e pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes: a base é 5 (um número positivo diferente de 1) e o lado direito é 1.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental das potências que vamos usar: para qualquer número real a tal que a\neq0 vale
a^0 = 1.
Exemplos simples: 2^0=1, 10^0=1, 5^0=1. Como a base da nossa potência é 5 (que é diferente de 0 e de 1), a única maneira de obter 1 como resultado de 5^{\text{algo}} é que esse “algo” seja 0. (Se a base fosse 1, qualquer expoente daria 1; se a base fosse negativa haveria considerações sobre expoentes inteiros pares/ímpares, mas aqui a base é positiva.)

Passo 3

Usando a observação anterior, escrevemos 1 como 5^0 e igualamos expoentes:
5^{2x-3}=5^0 \quad\Longrightarrow\quad 2x-3=0.
Outra forma alternativa (equivalente) seria aplicar logaritmo natural em ambos os lados:
(2x-3)\ln 5 = \ln 1 = 0,
que também leva a 2x-3=0, porque \ln 5\neq0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação linear obtida:
2x-3=0.
Somamos 3 em ambos os lados:
2x = 3.
Dividimos ambos os lados por 2:
x = \frac{3}{2}.

Passo 5

Cheque rápido: substituindo x=\frac{3}{2} na expressão original temos
5^{2\cdot\frac{3}{2}-3}=5^{3-3}=5^0=1,
logo a solução está correta. Boa! Você conseguiu — é um tipo de problema que costuma cair bastante na prova, memorize: quando a base é positiva e diferente de 1, igualar a potência a 1 significa igualar o expoente a 0.

Resposta

\dfrac{3}{2}

Exercícios relacionados