Resolva as equações: b y'' + y = x^3 + 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos soluções da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), fica:
Aqui, é a unidade imaginária.

Passo 4

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinamos com as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos achar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é um polinômio, vamos supor uma solução particular da forma:
onde são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo e suas derivadas na equação original:

Passo 7

Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo o sistema:

Passo 8

Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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