Determine a área da parte da superfície z = x + y^2 que estâ acima do triângulo com vértices (0,0), (1,1) e 0,1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de área de superfícies. O problema pede para determinar a área da parte da superfície definida pela equação que está acima de um triângulo com vértices em , e .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração dupla para calcular a área de uma superfície parametrizada. Vamos também usar derivadas parciais para encontrar a expressão que será integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma superfície dada por sobre uma região no plano . A fórmula para a área da superfície é:
Á
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Á

Passo 4

Agora, precisamos descrever a região que é o triângulo com vértices em , e . Vamos determinar os limites de integração para e .
Observando o triângulo:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 até a linha que liga a , que é .
Portanto, os limites de integração são:

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla com esses limites:
Á
Como a expressão não depende de , podemos simplificar a integração em :
Á

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
Faremos uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Substituindo na integral:
Integrando :
Calculando os limites:

Resposta

A área da parte da superfície que está acima do triângulo com vértices em , e é:
Áá

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