Resolva as equações de Bernoulli e Ricatti:
t^{2} \cdot \frac{d y}{d t}-2 t y=3 y^{4} ; y(1)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Bernoulli
t^{2}\,\frac{dy}{dt}-2\,t\,y=3\,y^{4},
com condição inicial y(1)=\tfrac12.
Este é um caso de equação da forma
\frac{dy}{dt}+P(t)\,y=Q(t)\,y^{n},
com n=4. Para resolver, usaremos a transformação v=y^{1-n}=y^{-3}.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo por t^{2}:
\frac{dy}{dt}-\frac{2}{t}\,y=\frac{3}{t^{2}}\,y^{4}.
Dessa forma, identificamos
P(t)=-\frac{2}{t}, \quad Q(t)=\frac{3}{t^{2}}, \quad n=4.

Passo 3

Definimos
v=y^{-3}.
Derivando,
v'=-3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dt}.
Como da equação padrão isolamos
\frac{dy}{dt}=\frac{2}{t}\,y+\frac{3}{t^{2}}\,y^{4},
multiplicando por -3y^{-4} obtemos
v'= -3\,y^{-4}\Bigl(\frac{2}{t}\,y+\frac{3}{t^{2}}\,y^{4}\Bigr) =-\frac{6}{t}\,y^{-3}-\frac{9}{t^{2}} =-\frac{6}{t}\,v-\frac{9}{t^{2}}.
Logo a equação para v é linear:
v'+\frac{6}{t}\,v=-\frac{9}{t^{2}}.

Passo 4

Para resolver
v'+\frac{6}{t}\,v=-\frac{9}{t^{2}},
tomamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int\frac{6}{t}dt\Bigr)=t^{6}.
Multiplicando pela \mu:
(t^{6}v)'=-9\,t^{4}.
Integrando em t:
t^{6}v=\int -9\,t^{4}dt=-\frac{9}{5}t^{5}+C,
v=-\frac{9}{5}\,t^{-1}+C\,t^{-6}.

Passo 5

Voltando a y pela relação v=y^{-3}:
y^{-3}=C\,t^{-6}-\frac{9}{5}\,t^{-1} \quad\Longrightarrow\quad y^{3}=\frac{1}{C\,t^{-6}-\frac{9}{5}t^{-1}} =\frac{t^{6}}{C-\frac{9}{5}t^{5}}.
Portanto
y(t)=\biggl(\frac{t^{6}}{C-\tfrac{9}{5}t^{5}}\biggr)^{\!\frac13}.

Passo 6

Usamos y(1)=\tfrac12 para determinar C:
\frac12=\frac{1}{\bigl(C-\tfrac{9}{5}\bigr)^{1/3}} \;\Longrightarrow\; \bigl(C-\tfrac{9}{5}\bigr)^{1/3}=2 \;\Longrightarrow\; C-\tfrac{9}{5}=8 \;\Longrightarrow\; C=\frac{49}{5}.

Resposta

y(t) =\sqrt[3]{\frac{t^{6}}{\frac{49}{5}-\frac{9}{5}t^{5}}} =\sqrt[3]{\frac{5\,t^{6}}{49-9\,t^{5}}} =\frac{5^{1/3}\,t^{2}}{(49-9\,t^{5})^{1/3}}.

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