Resolva as equações:
\binom{5}{2 x}=\binom{5}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \displaystyle \binom{5}{2x} = \binom{5}{x+2}.
O conteúdo usado será propriedades de coeficientes binomiais e as condições para que \binom{5}{k} esteja bem-definido.

Passo 2

Para que \binom{5}{2x} e \binom{5}{x+2} existam, precisamos de
0 \le 2x \le 5
e
0 \le x + 2 \le 5.
Da primeira desigualdade vem 0 \le x \le \tfrac52, e da segunda -2 \le x \le 3. Como x deve tornar x+2 inteiro, vemos que x é inteiro e, intersectando, obtemos
x \in \{0,1,2\}.

Passo 3

Usamos a propriedade de que, para mesmo n, \binom{n}{a}=\binom{n}{b} se e somente se
a = b \quad\text{ou}\quad a + b = n.
Aqui n=5, a=2x e b=x+2. Então teremos dois casos.

Passo 4

Caso 1:
2x = x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Caso 2:
2x + (x + 2) = 5 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Passo 5

Verificamos se x=1 e x=2 estão no conjunto de definição \{0,1,2\}. Ambos pertencem, logo são soluções válidas.

Resposta

x = 1 ou x = 2.

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