Resolva as equações biquadradas em mathbb{R} :
6 x^{4}+\left(2 x^{2}-3\right)^{2}=\left(2 x^{2}+1\right)^{2}+14

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação biquadrada
6x^{4} + (2x^{2}-3)^{2} = (2x^{2}+1)^{2} + 14.
Vamos usar expansão de quadrados e depois fazer a substituição t = x^{2} para reduzir a um polinômio quadrático em t.

Passo 2

Expandindo os quadrados no lado esquerdo e direito:
(2x^{2}-3)^{2} = 4x^{4} - 12x^{2} + 9,
(2x^{2}+1)^{2} = 4x^{4} + 4x^{2} + 1.
Logo a equação fica
6x^{4} + (4x^{4} - 12x^{2} + 9) = (4x^{4} + 4x^{2} + 1) + 14.

Passo 3

Somando termos semelhantes em ambos os lados:
10x^{4} -12x^{2} + 9 = 4x^{4} + 4x^{2} + 15.
Transportando tudo para um lado:
10x^{4} -12x^{2} + 9 - 4x^{4} - 4x^{2} - 15 = 0
6x^{4} - 16x^{2} - 6 = 0.
Dividindo por 2:
3x^{4} -8x^{2} -3 = 0.

Passo 4

Fazendo t = x^{2} com t\ge0, obtemos o polinômio
3t^{2} - 8t - 3 = 0.
Calculando o discriminante:
\Delta = (-8)^{2} - 4\cdot3\cdot(-3) = 64 + 36 = 100.
Assim
t = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2\cdot3} = \frac{8 \pm 10}{6}.
As raízes são
t_{1} = \frac{18}{6} = 3, \quad t_{2} = \frac{-2}{6} = -\tfrac{1}{3}.
Descartamos t_{2} pois t\ge0, ficando t=3. Então
x^{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \sqrt{3}.

Resposta

x = \sqrt{3} ou x = -\sqrt{3}.

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