Resolva as equações biquadradas em mathbb{R} :
\left(x^{2}-2\right)^{2}=x^{2}+180

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação biquadrada, pois só aparecem potências pares de x:
\bigl(x^2 - 2\bigr)^2 = x^2 + 180.
Estamos em \mathbb{R} e, para resolver esse tipo de equação, vamos usar a troca de variável t = x^2, lembrando que t\ge0.

Passo 2

Fazendo t = x^2, a equação original vira uma quadrática em t:
(t - 2)^2 = t + 180.

Passo 3

Expandindo (t - 2)^2 e levando tudo para um lado, obtemos
t^2 - 4t + 4 = t + 180 \quad\Longrightarrow\quad t^2 - 5t - 176 = 0.

Passo 4

Para resolver t^2 - 5t - 176 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
t = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-176)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 704}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{5 \pm 27}{2}.
Isso dá as raízes
t_1 = \frac{5 + 27}{2} = 16, \quad t_2 = \frac{5 - 27}{2} = -11.

Passo 5

Como definimos t = x^2\ge0, descartamos t_2 = -11. Fica t = 16, ou seja
x^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 4.

Resposta

As soluções reais são x = -4 e x = 4.

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