Resolva as equações.
c) \left|x^{2}-6 x\right|=7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \left|x^{2}-6x\right|=7.
Informações importantes dadas:
  • A incógnita é x (número real).
  • O valor absoluto de uma expressão vale 7, que é um número positivo.

Passo 2

Propriedade importante do valor absoluto que vamos usar: para qualquer expressão A e qualquer número b\ge0,
|A|=b \quad\Longleftrightarrow\quad A=b \quad\text{ou}\quad A=-b.
Isto acontece porque o valor absoluto elimina o sinal da expressão: tanto A=b quanto A=-b dão |A|=b.

Passo 3

Aplicando a regra acima com A=x^{2}-6x e b=7, obtemos duas equações quadráticas a resolver:
x^{2}-6x=7 \qquad\text{ou}\qquad x^{2}-6x=-7.

Passo 4

Resolver a primeira equação \,x^{2}-6x=7. Colocando tudo num lado:
x^{2}-6x-7=0.
Podemos tentar fatorar. Procuramos dois números cujo produto é -7 e soma é -6: são -7 e 1. Logo
x^{2}-6x-7=(x-7)(x+1).
Portanto as raízes são as soluções de x-7=0 e x+1=0, ou seja
x=7\quad\text{e}\quad x=-1.

Passo 5

Resolver a segunda equação \,x^{2}-6x=-7. Colocando tudo num lado:
x^{2}-6x+7=0.
Aqui a fatoração com inteiros não funciona, então usamos a fórmula quadrática. Para uma equação ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad \Delta=b^{2}-4ac.
No nosso caso a=1, b=-6, c=7. Calculando o discriminante:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot1\cdot7 = 36-28 = 8.
Assim
x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{8}}{2\cdot1}=\frac{6\pm\sqrt{8}}{2}.
Simplificando \sqrt{8}=\;2\sqrt{2} e dividindo por 2,
x=3\pm\sqrt{2}.
Ou seja as duas soluções desta equação são x=3-\sqrt{2} e x=3+\sqrt{2}.

Passo 6

Reunindo todas as soluções obtidas das duas ramificações, o conjunto solução da equação original é
\{\, -1,\; 3-\sqrt{2},\; 3+\sqrt{2},\; 7\,\}.

Resposta

-1
3-\sqrt{2}
3+\sqrt{2}
7

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