Resolva as equações.
d) \left|x^{2}+2\right|-4 x=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left|x^{2}+2\right|-4 x=2.
Informações fornecidas e anotadas:
  • A incógnita é x e se quer todos os valores reais que satisfaçam a igualdade.
  • O termo dentro do módulo é x^{2}+2.
  • Observação numérica simples: para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}\ge 0, então x^{2}+2\ge 2>0. (Essa informação será útil para simplificar o módulo.)

Passo 2

Mini-aula sobre valor absoluto (módulo) — regras que vamos usar:
  • Por definição, para qualquer número real y\) tem-se \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
  • Consequência prática: se soubermos que A\ge 0\] para todos os \(x considerados, então |A|=A e não há necessidade de fazer os dois casos.
  • Regra geral para equações do tipo |A|=B:
    • Se B<0 não há solução (pois módulo é não-negativo).
    • Se B\ge 0 então equivalem os dois casos A=B ou A=-B.
      Exemplo rápido para fixar: resolver |x-1|=3.
  • Como 3\ge0, temos x-1=3 ou x-1=-3, daí x=4 ou x=-2.]

Passo 3

Aplicando a observação do Passo 1 ao nosso problema: como para todo x real vale x^{2}+2\ge 2>0, podemos retirar o módulo:
\left|x^{2}+2\right| = x^{2}+2.
Substituindo na equação original obtemos a equação polinomial mais simples
x^{2}+2-4x=2.

Passo 4

Continuando a simplificação passo a passo:
  • Subtrai-se 2 aos dois lados:
x^{2}-4x=0.
  • Fatorando por x:
x(x-4)=0.
  • Usando a propriedade do produto nulo (se ab=0 então a=0 ou b=0), obtemos as soluções candidatas
x=0 \quad\text{ou}\quad x=4.

Passo 5

Verificação direta (sempre bom checar em equações com módulos):
  • Para x=0:
\left|0^{2}+2\right|-4\cdot 0 = |2|-0 = 2,
que confere com o lado direito da equação.
  • Para x=4:
\left|4^{2}+2\right|-4\cdot 4 = |16+2|-16 = 18-16 = 2,
também confere.

Passo 6

Comentário extra sobre domínio: se alguém preferir reescrever a equação como
\left|x^{2}+2\right| = 2+4x,
então pelo lado direito ser igual a um módulo (não-negativo) é preciso 2+4x\ge 0, ou seja x\ge -\tfrac{1}{2}. Ambas as soluções encontradas satisfazem essa condição, logo são válidas.

Resposta

x=0
x=4

Exercícios relacionados